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DIFFÉRENTIATION D’UN SYSTÈME 
F{x, y) = c pour la valeur actuelle de x, mais d’où résulte, par le fait 
même, dans les cas où il existe plusieurs racines y ou plusieurs branches 
de la courbe F (x, y) = c, le précieux avantage de pouvoir obtenir pour 
toutes une dérivée de la même forme, ne se diversifiant de l’une à l’autre 
racine qu’à raison de la valeur différente de y. Si, par exemple, l’équa 
tion F{x, y) = c a pour premier membre une fonction rationnelle et 
entière de x et de y, comme il arrive, après l’évanouissement des dé 
nominateurs et l’élimination des radicaux, dans l’étude des courbes 
algébriques, les dérivées partielles F' r , F). seront aussi deux poly 
nômes; et le coefficient angulaire y 1 de la tangente se trouvera ex 
primé par une fonction rationnelle de x et de y, beaucoup plus 
simple que l’expression, compliquée de radicaux, à laquelle condui 
rait la différentiation de la valeur explicite de y dans les cas, les moins 
difficiles pourtant, où l’équation F(aq y) — c serait algébriquement 
résoluble. 
Soit, comme exemple, l’équation de l’ellipse 
a-y 2 h 1 x 2 — a 2 6 2 = o. 
On a ici c — o et F {x, y) = a 2 / 2 -t- № x~— a 2 ¿> 2 ; d’où 
F.' r = 2Ô 2 a7, Fy = 'ia-y. 
11 vient donc, pour le coefficient angulaire de la tangente, 
, №x , , hx 
y —— ——, au heu de y = qz ——. 
a ~y a\Ja 1 — x' 1 
qu’on aurait en prenant les deux valeurs explicites, ± ^ y/a 2 — x-, 
de j. 
Une fonction y inverse d’une autre x — y (y) peut être encore pré 
sentée comme exemple remarquable de fonction implicite. Elle se 
trouve, en effet, définie par l’équation non résolue x — '■?(/) = o; ce 
qui donne F(x, y) — x — cp(y), F'p — i, F' v = — f (y) ' d’où, en vertu 
de (u), y' = -j-—- ? 
J ?(j) 
conformément à la règle, presque évidente d’ail- 
Jeurs, rappelée plusieurs fois, pour différenlier ces sortes de fonctions. 
Elles offrent, comme on voit, cette particularité, que leur dérivée ne 
dépend pas directement de la variable indépendante x, mais seule 
ment de la fonction. 
Passons maintenant au cas de plusieurs fonctions implicites y, 
z, u, c’est-à-dire à celui où l’on a, entre x et y, z, u, pour définir 
ces fonctions, un pareil nombre d’équations non résolues, de la forme