EXISTENCE ET ÉQUATION 
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41. — Plan tangent à une surface. 
Quand une surface est représentée par une certaine équation, de la 
forme z —f(x,y), entre son ordonnée z et ses coordonnées x et y, 
z devient une fonction composée ne dépendant, en définitive, que 
d’une seule variable t, pour toutes les lignes, MM' par exemple, tra 
cées sur cette surface. Si l’on mène, en effet, des parallèles comme 
M m, M' m',..., à l’axe des z, leurs pieds, m, ni', ... sur le plan des 
xy, formeront une certaine ligne où x et y, coordonnées du point 
Fig. ii. 
quelconque m, seront, par exemple, fonctions d’une variable auxi 
liaire t, car on pourra concevoir cette ligne décrite par un mobile 
(p. 28); et l’ordonnée correspondante »iM = z —f(x : y) de la sur 
face deviendra bien aussi fonction de t par l’intermédiaire de x et y. 
Faisons, pour abréger, ^ = p, ~^z=zq^ ou convenons d’appeler p 
et q les deux dérivées partielles resjiectives f' x {x, y), f' y {x, y), que 
nous supposerons d’ailleurs continues et bien déterminées dans tout 
le voisinage du point considéré m{x, y), jusqu’à de très petites dis 
tances. La dérivées' sera évidemment px' -h q y' : eu d’autres termes, 
on aura 
(16) dz — pdx -4- q dy. 
Cela posé, concevons que l’on mène sur la surface, à partir du 
même point M et dans tous les sens possibles, une infinité de courbes 
comme MM', auxquelles correspondront, sur le plan des xy, tout 
autant de lignes mm' rayonnant autour de m. Un point quelconque 
M'|{x -i- dx, y-\- dy, z H- dz) de la surface, infiniment voisin de M, 
pourra ainsi lui être relié par un arc élémentaire MM', dont la tan 
gente en M sera le prolongement, M'T, de sa corde MM' dans la situa-