DU PLAN TANGENT A UNE SURFACE.
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lion limite qu’on a en vue par le fait même qu’on emploie les notations
dx, dy. Si l’on appelle x v , y l} Zy les coordonnées d’un point mo
bile T décrivant cette tangente, les trois différences Xy—x, y y— y,
Zy— 5 varieront d’ailleurs, d’après un caractère distinctif des droites
dans l’espace, proportionnellement à MT, en gardant sans cesse entre
elles les mêmes rapports qu’à l’instant où T se trouve en M' et où
Xy—37,pq-—~yi z \ — z égalent dx, dy, dz. Les différentielles dx,dy,
dz peuvent donc être remplacées, dans l’équation (16) qui contient
seulement leurs rapports mutuels, par x 1 —x, y 1 — y,z i —s; et il
vient, entre les coordonnées courantes x x , y y, Zy de toutes les cordes
infiniment petites prolongées, ou tangentes, menées en M à la surface,
la relation du premier degré
(17) Zy — z =p(x 1 -x)-i-q{y 1 — y).
Or, dans cette relation, où Zy— 5 varie proportionnellement à
Xy—x, tant que jq—y ne change pas, et proportionnellement à
Y y—J (avec un autre coefficient de proportionnalité) dès que Xy—x
reste constant, on reconnaît l’équation d’un plan. Elle nous permet
donc de dire qvéune tangente à la surface, en tournant sur celle-ci
autour de son point de contact, décrit un plan, ou encore que, dans
une étendue infiniment petite autour du point de contact con
sidéré, la surface ressemble ci ce plan au même degré qu’une
courbe à sa tangente. En effet, nulle ligne telle que MAE, tracée
sur la surface à partir de M, ne peut s’écarter du plan en question
plus qu’elle ne fait de sa tangente AIT qui s’y trouve comprise, dont
la distance à un quelconque, M', des points de la courbe voisins, égale
seulement le produit de la corde correspondante MM' par le sinus
de l’angle infiniment petit TAIAE de celle-ci avec sa direction limite
AIT. Et de même que toute droite fixe issue de M, mais différente de
AIT, fait avec les cordes comme MM' et avec AIT des angles finis ou
sensibles, de même aussi, tout plan mené par AI, mais autre que le
lieu des tangentes AIT, coupera ce lieu sous un angle fini et s’écar
tera infiniment plus que lui de la surface dans le voisinage de AI.
Pour ces diverses raisons, le plan représenté par l’équation (17) est
dit tangent en AI{x,y, z) à la surface. On voit qu’il est le seul plan,
mené par le point de contact AI, dont tout point de la surface soit in
comparablement plus proche que du point de contact lui-même, dans
un très petit rayon autour de ce dernier; de même que la tangente
à une courbe est la seule droite, menée par son point de contact,
dont les points de la courbe voisins soient infiniment moins distants
que de ce point de contact.
