SIXIÈME LEÇON. 
DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES D’ORDRE SUPÉRIEUR DES FONCTIONS 
SIMPLES OU COMPOSÉES; * COURBURE DES COURBES PLANES ET 
PARAMÈTRE DIFFÉRENTIEL DU SECOND ORDRE DES FONCTIONS DE 
POINT; * CHANGEMENTS DE VARIABLES. 
47. — Des dérivées d’ordre supérieur : exemples. 
La dérivée d’une fonction / —J{x) d’une variable indépendante x 
étant une nouvelle fonction, ^ ou f'{x), et celle-ci, dans toutes les 
applications de l’Analyse, se trouvant graduellement variable comme 
y (sauf parfois pour des valeurs isolées de x), il y a lieu de considé 
rer sa propre dérivée : on appelle dérivée seconde de la fonction 
f{x) ou j cette dérivée de la dérivée première. Dans le mode de no 
tation de Newton ou de Lagrange, on la représente au moyen de deux 
accents dont on affecte la lettre désignant la fonction, c’est-à-dire 
qu’on l’écrit, par exemple,/" ou f'\x). De même, la propre dérivée 
de cette dérivée seconde reçoit Je nom de dérivée troisième et se 
marque, au moyen de trois accents,/'" ou f"\x). Et ainsi de suite. 
Prenons, comme premier exemple, le polynôme, d’un degré entier 
quelconque m, 
y = X 0 æ m A ! x m i A 2 x" l ~ 2 -4- 
En différen liant sa dérivée première 
/' = mX 0 x m - l '-+- (m — i)XiX" 1 -*H- (m — 2)A 2 ;p" î—3 -F..., 
qui est un nouveau polynôme, mais du degré m — i, il vient 
y" — m(m — i)X ü x ni - 2 -F {in — i){m — a) Ajx" 1 — 3 -F ... ; 
et l’on continue de même pour les dérivées suivantes. Le degré du ré 
sultat s’abaisse d’une unité à chaque différentiation; de sorte que la 
dérivée m ièmc , /U«) — (i .2.3. . . m ) A 0 , n’atteint plus que le degré zéro. 
Ainsi, quand une fonction est rationnelle et entière, sa dérivée d'un 
ordre égal au degré de la fonction se réduit ci une constante, et 
les dérivées d’ordres plus élevés sont milles. 
B. — 1. Partie élémentaire. 7