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DÉRIVÉES D’ORDRE SUPÉRIEUR; LEUR DÉSIGNATION. 
Soient, comme second exemple, les trois fonctions 
y — e x , jy — cosha? ou j(e x -+- e~ x ), y = sinha? ou j(e x — e~ x ). 
On sait que, s’il s’agit de la première, sa dérivée lui est égale : fait 
d’où l’on déduit aisément que, s’il est question de la deuxième et de 
la troisième, chacune des deux a l’autre pour dérivée. Donc, l’expo 
nentielle e x se reproduit à chaque différentiation, et, les fonctions 
hyperboliques cosha?, sinhx, à chaque couple de différentiations. 
C’est ce qu’on exprime, pour l’exponentielle y — e x , par l’équation 
y'— y et, pour les deux fonctions y— cosh^u, y= sinliÆ, par l’équa 
tion y" = y. 
Prenons enfin, comme dernier exemple, les deux fonctions circu 
laires y= cosx, y— sin¿c. Ici, chacune des deux a l’autre pour dé 
rivée, avec changement de signe quand on différentie le cosinus; ce 
qui fait toujours un changement de signe et un seul sur deux diffé 
rentiations consécutives. Par conséquent, chacune des deux fonc 
tions circulaires y— cos-a?, y= sinj? ne se reproduit qu’en valeur 
absolue par deux différentiations ; et l’on a, non plus, comme pour 
les cosinus et sinus hyperboliques, l’équation y" — y, mais bien 
l’équation y" — —y ou y"-\-y — o. En tenant compte des signes, il 
faudra donc quatre différentiations consécutives pour retomber sur la 
fonction d’où l’on part. 
48. — Désignation de ces dérivées par des quotients différentiels; 
notations et opérations symboliques. 
La notation de Leibnitz s’applique également aux dérivées d’ordre 
supérieur, puisque ce sont toujours des dérivées premières d’autres 
dérivées et que toute dérivée première est le rapport des deux accrois 
sements infiniment petits simultanés de la fonction qu’on différentie 
et de sa variable. Dans le calcul d’une dérivée seconde y"=f\x), 
la fonction actuellement différentiée n’est plus y, mais bien sa dérivée 
c ìd-, donila différentielle correspondant à l’accroissement dx de la 
dx 
dv 
variable s’écrit naturellement d -y- ; cette dérivée seconde sera donc 
, dy 
d df 
indiquée par - • La dérivée troisième, quotient de la différentielle 
i & 
, d dx 
d irr 
dx 
de cette nouvelle fonction par dx, aura de même pour notation