LEUR RAPPORT AVEC LES DÉRIVÉES DE MÊME ORDRE.
IOI
Or, dans la quantité entre crochets, le terme ~ est de la même na
ture que le précédent e x ou le suivant d, et donne avec eux une
somme totale tendant vers zéro en même temps que \x. Car, d’une
part, la fonction de x et de \x appelée s s’annule pour toutes les va
leurs de x quand on fait \x = o et a, par conséquent, sa dérivée ~-
d-
alors nulle identiquement; d’autre part, celte dérivée en vertu
du principe de graduelle variation que nous admettons ici dans toutes
nos fonctions, ne peut pas acquérir la valeur zéro, relative au cas où \x
s’annule, sans en approcher indéfiniment à mesure qu’on rend \x de plus
en plus voisin de zéro. La somme £ i + + z ' est donc une nouvelle
fonction évanouissante de x et de \x. Si on la représente par z 2 , l’ex
pression de A 2 jp deviendra
(3) [/"(*)+ Î2 ](A*)L
C’est une nouvelle fonction de x. Prenons-en la différence, qui s’ap
pellera la différence troisième de la fonction j', et qui s’écrira A (A 2 v )
ou, simplement, A 3 ^p : puisque A-y égalait
f{x -4- t.\x) — 2.f{x -+- Aa?) 4- f(x),
cette nouvelle différence sera l’excédent de
f{x-\-3±x)~if(X-\-2\x)-\-f(x-h\x) sur /(.57 4- 2 \x)—xf{x 4-\x) ~r-f(x).
Sa valeur, produit du facteur constant (A#) 2 par l’accroissement que
recevra le facteur variable f"(x) 4- z 2 quand x j croîtra de \x, éga
lera évidemment \_\f"{x) 4- As 2 ](A.r) 2 ; et un raisonnement tout pa
reil à celui qui nous a conduit de la formule (1) à la formule (3) per
mettra d’écrire, en appelant e 3 une nouvelle fonction évanouissante
avec \x,
^7 = [/"0)-+- e 3 ](Ax) 3 .
On continuera de môme jusqu’à la différence « ièine ,
(4) A«7= [f (n) {x) 4- e«](Aa?)«,
dont la valeur, divisée par {\x) n , donne
(5)
/ (,i) 0) 4- z n =
An y
(Aa?)"*
Si l’on suppose maintenant que, dans celle-ci, l’accroissement Ax soit