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REDUCTION DE LA DÉRIVÉE 7l lème A UN QUOTIENT DIFFÉRENTIEL. 
pris de plus en plus faible, z n tendra vers zéro, et l’on pourra énoncer 
le principe suivant : 
La dérivée n ième d’une fonction est la limite vers laquelle tend le 
rapport de la différence n ième de cette fonction à la puissance n icmc 
de la différence de la variable, quand cette dernière différence, 
supposée la même dans la formation de toutes les différences suc 
cessives de la fonction ou pour toutes les valeurs successives consi 
dérées de la variable, s’approche indéfiniment de zéro. 
Leibnitz a exprimé, comme pour les différences premières S.x et 
A.y, cette intention de ne considérer que des résultats limites, en 
remplaçant la caractéristique A par la caractéristique d et le nom 
« différence d’ordre n » par son diminutif « différentielle d’ordre n ». 
Une pareille intention annihile évidemment, dans la formule (5), 
l'influence du terme z n , destiné à disparaître à la limite; en sorte que 
la substitution des d à des A réduit cette formule (5) à 
(6) / U) 0) ou 7 (re) = ¿7r* 
Donc, la dérivée n ième d’une fonction est le quotient de la différen 
tielle n lème de cette fonction par la puissance n icme de la différen 
tielle de la variable, pourvu que les valeurs de celle-ci soient équi 
distantes, ou que sa différentielle reste la même dans le calcul des 
différentielles des divers ordres de la fonction jusqu’à la plus haute 
que l’on ait ci considérer. Ainsi, une dérivée quelconque peut s’ex 
primer immédiatement au moyen de la différentielle correspondante, 
sans passer par les dérivées d’ordre moindre; et y", y"', . . . sont les 
simples rapports ffx*’ • • • • m °d e de notation préférable à celui 
du numéro précédent, mais supposant les accroissements successifs dx 
tous égaux et non plus arbitrairement variables d’une dérivée à 
l’autre. 
50, — Sur l’emploi des différences d’ordre supérieur dans les calculs 
numériques : cas d’une fonction entière. 
Dans les calculs d’approximation où l’on fait grandir une variable 
indépendante x par petits accroissements égaux S.x, ceux-ci sont le 
plus souvent assez faibles pour que la suppression de z n dans (4), à 
côté de f (n fx), n’entraîne en général qu’une erreur relative très lé 
gère. On posera donc, à fort peu près, A n y = f ( - n '>[x){isx) n . Comme, 
d’ailleurs, la dérivée f^fx) n’a d’ordinaire que des grandeurs mo 
dérées (du moins tant que l’ordre n ne s’élève pas extrêmement), les