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EMPLOI DES DIFFÉRENCES DE DIVERS ORDRES DANS LES CALC. NUMÉRIQUES. Io3 
différences première, seconde, troisième, ... se trouvent respective 
ment comparables à \x, (Atu) 2 , (Ax) 3 , ..., c’est-à-dire qu’elles sont 
du premier ordre de petitesse, du second, du troisième, etc. Si donc 
on ne considère la fonction que dans un intervalle restreint, compre 
nant un nombre modéré m des valeurs équidistantes choisies de la 
variable, et si, par suite, ne devant additionner au plus que m valeurs 
successives d’une différence quelconque de la fonction, on n’a pas à 
craindre l’accumulation de trojo d’erreurs, toutes les différences d’un 
certain ordre et au-dessus seront assez peu sensibles, même prises en 
nombre, pour pouvoir être réputées nuiles. Alors la différence la plus 
élevée parmi les autres non négligeables sera constante dans les li 
mites considérées et, ajoutée successivement à elle-même, servira, si 
l’on veut, à calculer les valeurs successives de la différence précédente, 
à partir de l’une d’elles directement obtenue; valeurs dont on déduira 
de même, par de simples additions, celles de la différence dont l’ordre 
est encore moins élevé de i, et ainsi de suite jusqu’aux valeurs mêmes 
de la fonction proposée, qui peut être regardée comme une différence 
d’ordre zéro. 
Il faudrait que la fonction variât bien rapidement, joins qu’il n’ar 
rive d’ordinaire, pour que, dans l’hypothèse de différences !sx petites, 
mais pourtant sensibles, ce procédé de calcul ne lui fût pas applicable. 
11 serait même rigoureux dans le cas d’une fonction rationnelle 
et entière de degré m, pourvu que l’on poussât le calcul des diffé 
rences jusqu’à celles de l’ordre m ibmc : car on reconnaît aisément, par 
un développement immédiat, que, pour les différences finies d’un po 
lynôme f{x), comme pour ses différentielles ou ses dérivées, le degré 
en x s’abaisse d’une unité à chaque différentiation, c’est-à-dire quand 
on passe du polynôme à sa différence ou d’une différence à la suivante; 
en sorte que la différence m icme est constante. 
51*. — Importance particulière et signification de la dérivée seconde. 
(Compléments, p. 63*). 
52*. — Courbure d’une courbe plane. 
(Compléments, p. 65*). 
53. — Dérivées partielles de divers ordres, et différentielles corres 
pondantes, des fonctions composées. 
Nous avons vu (p. 81) ce qu’on entend par les dérivées partielles 
premières d’une fonction composée f{u, c, tv) de plusieurs variables.