Xo4 DIFFÉRENCES ET DIFFÉRENT. PART. D’ORDRE SUP. DES FONCT. COMPOSÉES : 
Par exemple, Tune d’elles, la dérivée en u, est f' u {u, c, cc), ou 
df . j. 
= -fj-■ ; et une petite différence par- 
f{ u -+- du. c, w) — f{ u, v 
du 
tielle correspondante /{u H-A u, v, cc) —/(m, c, cc), qui s’écrit A 
a l’expression [/'„(«, c, <c)4-e]Aîî. Or, la dérivée première f u {u, c,cc) 
étant elle-même une fonction de u, c, cc, on peut en prendre la dérivée 
partielle soit par rapport à u, soit par rapport à c, soit par rapport à 
ce; et l’on a ainsi des dérivées partielles secondes de la fonction pro 
posée, dérivées qu’on écrira 
ou encore 
d d f d d f d df 
du du ’ dv du ’ dw du 
Pareillement, si, dans la fonction A„/(«, c, ce), on donne à l’une des 
trois variables u, c ou w un petit accroissement A« ou Ac ou Aie, 
égal à celui de même nom qu on avait déjà introduit pour former 
les différences premières, on aura ce qu’on appelle les différences 
partielles secondes A„ A u f, ts v A u f, A (V A u f. 
Considérons, par exemple, la deuxième, A„ A u f } accroissement qu’é 
prouve la valeur [/'„ ( u, v, cc) H- s] \u, de A u f, quand v y grandit 
de Ac. Cet accroissement vaut évidemment le produit du facteur con 
stant A u par la différence partielle en c, A v f,fu, c, ce) -+- A^e, du 
facteur variable; et, dans celle-ci, A v f\fu, c, cc), A^e comportent d’ail 
leurs, toujours en vertu du principe fondamental de l’existence des 
dérivées, les expressions 
Ej et d désignant deux certaines fonctions qui s’évanouissent avec Ac. 
On a donc, pareillement à (2), 
Mais s est une fonction qui, pour A« = o, s’annulerait quel que fût c 
et donnerait — — n C’est dire mie la dérivée — , fonction elle-même 
de u, c, cc et A u, dont nous admettons la graduelle variation par rapport 
à chacune de ses variables, devient aussi petite que l’on veut, comme e, 
quand A u est pris lui-même assez faible. Si donc on appelle, par exemple, 
e 2 la somme e, + H- d, évanouissante lorsque A u et Ac tendront si-