INDIFFÉRENCE DE L’ORDRE DES DIFFÉRENTIATIONS. 
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l’emploi d’un exposant symbolique égal au nombre des cl successifs 
du numérateur, 
d\f 
dw dv du 
54. — Interversion de l’ordre des différentiations partielles. 
Mais il n’est môme pas nécessaire d’observer dans quel ordre se 
suivent les différentielles du, dv, dw au dénominateur; car une déri 
vée partielle quelconque garde la même valeur, quand on change 
à volonté l’ordre dans lequel se font les différentiations qui s'y 
trouvent indiquées par rapport aux diverses variables. 
Démontrons d’abord ce théorème pour le cas de deux, différentia 
tions, en prouvant qu’on aura, par exemple, 
d- f( u, v) _ d\f( u, v) 
dvdu dudv 
Il suffit évidemment de faire voir que Aç, A U f{u, v) = A„ A v f{u, v); 
c/ 2 f cl 2 f 
car il en résultera d v d a f — d u d v f q t, par suite, ^ ^ = yyfyy sans 
qu’on ait même besoin de négliger, dans ces deux rapports limites, 
aucune quantité évanouissante. Effectivement, A n f désignant l’accrois 
sement f\u -+- A u, v) —f{ u, v), sa différence par rapport à v, excédent 
de la nouvelle valeur/(w -f- A u, v + Ap) — /(«, v + Ap), obtenue en y 
faisant croître v de Ap, sur la valeur première f{u A u, v) — ffu, v), 
a pour expression développée 
f(u -+- A u, v -t- Ap) —f{u, v -+- Ap) —f(u -t- A u, v) -+- f( u, p); 
et il est clair que si, au contraire, on faisait croître v d’abord, puis u, 
de manière à évaluer v f{u, v), on aurait, par raison de symétrie, 
l’expression équivalente 
/'( u A u, v -+- Ap) — f(u-A u, p) — /( u, p + Ap) -p /( u, v). 
On peut donc intervertir l’ordre de deux différentiations consécu 
tives. Or il est aisé de passer de ce cas à celui d’un nombre quel 
conque de différentiations. Considérons, par exemple, la dérivée 
3 j- 
dw dv Jfi ’ c l 11 * s ^o n ^ e c l ue l’ on différentiel' f par rapport à u, 
puis le résultat par rapport à v et le nouveau résultat par rapport à w. 
Démontrons que la différentiation en u peut se faire, non plus la pre 
mière, mais la seconde ou la troisième. En effet, l’expression -, ¡-, 
1 dv du 
dont on doit prendre finalement la dérivée par rapport à w, ne chan-