DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES ET DIFFÉRENTIELLE TOTALE. 
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ment la manière de faire, avec t, varier x, y, z, on voit que f{cc,y, z) 
pourra être assimilée pleinement à une fonction composée d’une seule 
variable t, dont les proposées x, y, z deviendront des fonctions arbi 
traires. 
En général, que des variables indépendantes x, y, z soient des 
coordonnées ou non, et qu’elles varient simultanément on isolément, 
elles n’en changeront pas moins toujours d’une certaine manière, 
qu’on sera, il est vrai, libre de choisir et de modifier à volonté. Donc, 
dans chaque cas particulier, si x, par exemple, varie, à ses diverses 
valeurs correspondront certaines valeurs de y et de z, ce qui revient à 
dire que y, z pourront être regardées comme des fonctions de x; ou 
si encore, pour plus de symétrie et pour ne pas donner à x plus d’im 
portance qu’à y et à z, on imagine que x, y, reçoivent ensemble, 
pendant que le temps t s’écoule, les séries de valeurs qu’on se propose 
de leur attribuer, x, y, z seront fonctions de la variable auxiliaire t. 
Ainsi, de toute manière, plusieurs variables indépendantes x, y, z 
peuvent être regardées comme des fonctions arbitraires d'une 
seule; et leurs propres fonctions, devenues des fonctions composées, 
admettent toutes les propriétés générales, dérivant de la graduelle 
variation, dont jouissent les fonctions composées quand le mode de 
dépendance mutuelle de leurs variables reste quelconque. 
En particulier, si u — f{x, y, z) est l’une d’elles, et que l’on donne 
à x, y, z de très petits accroissements positifs ou négatifs Ax, Ay, A z, 
son accroissement simultané A u sera, d’après la relation (4) de l’avant- 
dernière Leçon (p. 82), 
(1) 
A u = 
df 
dx 
-+- s ) Ax 
elf 
dy 
A Y- 
df 
dz 
ou bien, avec une erreur relative négligeable, 
(2) 
df 
dx 
^ df 
dy 
An = ~ Ax -I- ~ A y-h ~ Az, 
dz 
tant dans les calculs d’approximation où Ax, Ay, Az se trouveront 
assez voisins de zéro, que dans l’étude de changements infiniment 
petits où l’on devra ne faire servir cette exjmession de Au qu’à l’éva 
luation de résultats-limites. Bornons-nous à ce second cas, ayant suf 
fisamment traité du premier au n° 36 (p. 83), et, conformément à la 
notation de Leibnitz, remplaçons les A par des d ou les différences 
finies par des différentielles, afin de marquer notre intention de faire 
évanouir finalement Ax, Ay, A z pour ne garder que des limites de 
rapports ou de sommes. La variation Au, réduite à sa partie influente,