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DÉRIVÉES PARTIELLES DES FONCTIONS IMPLICITES : EXEMPLE.
figurent isolémentp et q\ puis, pour obtenir r, s, t, celles du même
degré, résolubles encore chacune séparément, que donnent les der
niers membres des trois formules suivantes (9) égalés à zéro; et ainsi
de suite.
Les dérivées premières p et q, puis les dérivées secondes r, s, t,
dans les expressions desquelles on remplacera p et q par leurs valeurs
déjà trouvées, etc., s’exprimeront donc rationnellement, au moyen
des dérivées partielles successives, d’ordres de plus en plus élevés, delà
fonction F(æ;, y, z). Si celle-ci est, par exemple, un polynôme, comme
il arrive quand il s’agit d’une surface algébrique dont l’équation a été
mise sous forme entière, on obtient ainsi p, q, r, s, t, ..., sous la forme
de fonctions rationnelles des coordonnées x, y, z du point considéré
de la surface. Les dérivées premières p et q de z en x et en y éga
lent, en particulier, les deux quotients respectifs de — ^ et — ~
dF
par — , comme on l’avait déjà reconnu, d’une manière plus géomé-
ctz
trique, dans Lavant-dernière Leçon (p. 49*)•
Ainsi s’étendent, aux dérivées partielles successives des fonctions
implicites de plusieurs variables, les propriétés que nous avions con
statées dans les fonctions implicites d’une seule variable. Et il sérail
aisé de reconnaître, en procédant comme on l’a fait au n° 56 [p. ni,
formule (22)], que le même fait persiste dans le cas de plusieurs fonc
tions implicites simultanées. La différentiation en x ou y, etc., répé
tée un nombre quelconque de fois, de chacune des équations définis
sant ces fonctions implicites et en même nombre qu’elles, donne
toujours un système d’équations du premier degré par rapport aux
dérivées inconnues analogues, les plus élevées qui y figurent, de ces
diverses fonctions; et chaque inconnue a dans tous les systèmes,
pour coefficients respectifs, les dérivées premières |comme~j, par
rapport à la fonction implicite correspondante, des premiers membres
des équations proposées.
11 y a parfois des simplifications, ¡Drovenant de ce que certaines dé
rivées partielles des premiers membres de ces équations s’annulent.
Par exemple, pour la sphère dont l’équation est x 2 ■+■ r 2 + z 2 = c, on
aura, en diiférentiant soit par rapport à x, soit par rapport à r, et
divisant par 2,
(10)
x —y— z p = o, y-\-zq— o,
résultats dont les premiers membres ne contiennent pas explicitement