DÉMONSTRATION DE LA RÈGLE DE L’iIOPITAL POUR LES EXPRESSIONS -• l3i
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81. — Démonstration de la régie relative aux expressions de la forme - ;
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cas d’exception ou comportant des difficultés spéciales.
Cela posé, si, pour la valeur a de la variable, les deux fonctions
f{x) et cp(#) s’annulent, que, de plus, l’accroissement A doive tendre
vers zéro et puisse être supposé assez petit pour que la dérivée de
l’une, au moins, des deux fonctions ait sans cesse le même signe entre
x — a et x — a + A, la formule (i i) donnera
(i3)
/(a -i- h) _ f\a -+- 0h)
cp ( a -4- A ) cp'( a -+- 6 h )
Admettons que le rapport ■ ■ tende, comme il arrive d’ordinaire,
11 cp (a?) ’
vers une limite lorsque x tend vers a. Alors, quand A s’approchera
graduellement de zéro, 6A, d’une valeur absolue moindre, tendra vers
zéro soit graduellement, soit peut-être, dans certains cas, en sautant
parfois brusquement d’une valeur absolue à une autre sensiblement
plus petite. Quoi qu’il en soit, le second membre ne pourra éviter de
converger vers lim |: ce qui démontre la règle.
0 c f( a7 ) 1 &
• • • f'(x')
Mais il peut se faire que, x s’approchant graduellement de a, —,~■—-
<p (a? )
oscille une infinité de fois entre des limites plus ou moins écartées, ou
ne tende vers aucune limite, et que cependant le second membre de (i3)
admette une limite déterminée; car rien n’empêche, quand h décroît
vers zéro avec continuité, que 6 A varie brusquement de temps à autre,
de manière à réduire toute la suite des valeurs prises par le second
membre de ( 13) à une minime partie seulement de celles qu’on aurait
en y faisant décroître OA d’une manière continue. II est clair que, dans
que /' (a + 9 h ) et cp'(a + 6A) ne puissent pas être nuis à la fois. Donc, à cette
réserve près, on peut diviser par 9'(a + 6 A), et il vient
/(« +A)-/(a) = f{a H- 6 A) >
»(a + Aj — '-?(«) 9' (a + 6 A)’
ce qui est bien la formule de Cauchy. Nous n’aurons à l’appliquer que dans des
cas où la dérivée 9' (x) ne s’annulera pas entre les deux limites x = a, x = a -+- A;
et voilà pourquoi il suffisait d’en indiquer ici, en note, l’extension à d’autres cas,
pour lesquels la nécessité d’examiner la restriction encore subsistante (au moins
d’après la démonstration) de la non-annulation simultanée de f{x) et de9'(ir)
rendrait peut-être son emploi moins utile.