134 EXPRESSIONS DE LA FORME — : REGLE DE CAUCHY 
oc 
manières suivantes : 
sinha?— a7Cosha?\ /sinha;— a;cosha7 
—v ou —; 
smæ — a?cosa? / x =o \ sxna?— a?cosa? 
Les deux termes de la fraction s’annulant pour x — o, on remplacera 
chaque terme par sa dérivée, qui est, après une réduction évidente, 
— x sinha? pour le numérateur et x sina? pour le dénominateur. On 
pourra donc évaluer, au lieu du rapport proposé (i4)> celui des deux 
fonctions — x sinha? et x sina;, rapport identique, vu la suppression 
permise du facteur commun x, à —sinha^ Celui-ci devenant lui- 
sma? 
même de la forme ° à la limite considérée, on y remplacera les deux 
termes par leurs propres dérivées —cosh^r, cosa?, dont le quotient, 
pour x — o, est — i, vraie valeur cherchée. 
Toute la suite des calculs se représente par un Tableau comme ceci : 
/sinha?— a?cosha7\ /— a?sinha?\ / 
\ sina?— a? cos a? / 0 \ a?sina? / 0 \ 
sinha?' 
sina; / o 
cosha? 
cosa? 
o 
On vérifierait aisément le résultat — i en remplaçant, dans les deux 
termes de la seconde fraction (i4)> les sinus et cosinus, tant circulaires 
qu’hyperboliques, par leurs développements ordonnés suivant les 
puissances de ¿r, puis en réduisant les termes semblables, supprimant 
ensuite un facteur x 3 commun aux deux séries ainsi obtenues comme 
numérateur et comme dénominateur, puis, finalement, en posant 
x— o. 
86. — Expressions de la forme — • 
oc 
Les fractions 
/(g) 
?0) 
qui, pour une valeur particulière x — a de la 
variable, prennent la forme — ? ont leur vraie valeur, ou valeur 
limite, évaluable par la même règle que les expressions de la forme 
-> c’est-à-dire en remplaçant lim par lim t-;-- ■ • Les deux li- 
o 1 s cp (a?) 1 cp (x) 
mites ainsi substituées l’une à l’autre sont, du moins, ou nulles à la 
fois, ou finies et égales, ou, toutes les deux, infinies et de même signe. 
Cette extension importante de la règle relative au rapport de deux 
fonctions qui s’annulent a été découverte par Cauchy. 
Pour la démontrer, donnons à x une valeur a + h voisine de celle, 
a, qui rend infinies f{oc), cp {x), et substituons à la fraction proposée