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EXPRESSIONS QUI TENDENT VERS LES FORMES - OU 
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deviennent infinies pour une valeur déterminée a de la variable, leur 
rapidité d’accroissement, mesurée par leurs dérivées f'{x), o'{x), le 
/'O) 
o'{x) 
devient à plus forte raison, et que, par conséquent, l’expression 
f(cc') CC 
est, comme la proposée -, de la forme — • Mais cela tient assez sou 
vent à des facteurs infinis communs qu’on aperçoit de suite dans/'(я-), 
o\x), et qu’on peut supprimer; en sorte que la règle conduit bien 
alors au résultat demandé. D'ailleurs, il arrive fréquemment que la 
valeur a pour laquelle les deux fonctions /(a?), o{x) deviennent infi 
nies n’est pas une valeur déterminée, mais bien une valeur infinie. Or 
les dérivées f\x), <?'{&) ne sont alors nullement tenues de devenir 
f'(x) 
infinies, c’est-à-dire que le rapport peut ne plus se présenter 
sous la forme illusoire — du proposé y—; et, cependant, la règle de 
Cauchy continue à s’y appliquer, comme on va le voir. 
87. — Extension de la règle au cas où c’est pour une valeur infinie de 
la variable que les termes de la fraction considérée deviennent tous 
les deux nuis ou tous les deux infinis. 
Admettons que ce soit pour x =4- oc, ou bien pour x — — oo, que 
f{x) et o{x) acquièrent à la fois ou des valeurs milles ou des valeurs 
infinies. Alors, en appelant y l’inverse de x, ces fonctions, devenues 
devront être considérées pour la valeur parfaitement 
précise et déterminée y — o, valeur inverse de x — ± oo. On pourra 
donc, avec la nouvelle variable y, appliquer la règle, et remplacer 
le rapport des deux fonctions f ’ P ar ce ^ ll i de leurs dérivées 
—dj. La suppression du facteur commun— 
infini à la limite, donnera bien 
(16) (pour y = о ) 
'fâ. '<;) 
ou, en revenant à la variable proposée x, 
(17) (pour x = 4- со ou —oc) 
• Л>) fix) 
un — lirn — ■ 
o{x) o{x)