l38 comparaison d’exponentielles et de logarithmes, devenant infinis, 
La règle qui consiste à remplacer un rapport ^ ou ^ de deux fonc 
tions par celui de leurs dérivées est donc encore applicable quand ces 
deux formes ^ ou — ne se présentent pas pour une valeur déterminée 
de la variable, mais seulement à la limite lorsque la valeur absolue de 
la variable croît indéfiniment. 
88. — Exemple : comparaison d’exponentielles et de logarithmes deve 
nant infinis aux fonctions algébriques de leur variable qui le devien 
nent également. 
loeir 
Comme application, cherchons la limite du rapport où m dé 
signe un exposant positif quelconque, entier ou fractionnaire, et x 
une variable qui grandit indéfiniment. Les deux fonctions f{x) — \o%x 
et 0(37) — x m devenant infinies pour x — co, il y a lieu d’évaluer le 
f r ( 3?) I 
rapport —- qui, vu les valeurs f'{x) = - , f'(x) = mx m ~ 1 , revient 
• On aura donc 
m x" 1 
(18) 
mx ,n 
ou o. 
Ainsi, quand une variable devient infinie, son logarithme le de 
vient, mais infiniment moins que toute puissance, à exposant posi 
tif, de cette variable, et, par suite, infiniment moins que toute 
fonction algébrique, indéfiniment croissante, de la même variable. 
Effectivement, toute fonction entière de x est sensiblement réductible 
à son terme de l’ordre le plus élevé, quand la valeur absolue de x de 
vient très grande, et, s’il s’agit d’une fonction fractionnaire ou même 
irrationnelle, des divisions ou des extractions de racines, effectuées 
sur de pareils monômes, donnent des résultats monômes comme eux, 
c’est-à-dire de la forme x m , abstraction faite d’un facteur constant. 
Dans la formule (18), appelons y le nombre indéfiniment croissant 
logai, ou posons log.r — y, x — e*; et appelons de plus n l’inverse de 
m, c’est-à-dire le nombre positif quelconque — • L’expression 
deviendra — \f—\ - La formule (18), qui exprime que ce nombre 
tend vers zéro quand y grandit, exige évidemment que sa puissance 
n ième y tende aussi, ou qu’on ait 
(19) 
= o.