NEUVIÈME LEÇON. 
SUITE DES APPLICATIONS ANALYTIQUES DU CALCUL DIFFÉRENTIEL : 
DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS EN SÉRIES ENTIÈRES; FORMULES 
DE TAYLOR ET DE MAC LAURIN; DÉVELOPPEMENT DE {a-hb) m , ETC. 
91. — Objet et importance de la formule de Taylor. 
La propriété de graduelle variation dont jouissent, en général, les 
fonctions même les plus compliquées se présentant dans l’étude des 
phénomènes naturels, a pour effet d’assujettir leur marche à des lois 
approchées uniformes, toutes les fois qu’on ne les considère qu’entre 
des limites suffisamment resserrées. S’il est question, par exemple, 
de ne donner à la variable d’une fonction f{x), à partir d’une cer 
taine valeur fixe, d’ailleurs quelconque, x, que d’assez petits accrois 
sements positifs ou négatifs /¿, les valeurs correspondantes f{x-\-h) 
de la fonction vaudront, d’après la formule du haut de la page 36, 
f{x) + f\x)h H- s/i, et comporteront ainsi l’expression approchée, 
du premier degré en h,f{x) -\-/'{x)h, avec une erreur, s h, d’un 
ordre de petitesse par rapport à h supérieur au premier. Or il est 
naturel de chercher à généraliser ce résultat et de se demander si, en 
prenant pour expression approchée de f(x H- h) un polynôme cp(A) 
du n ième degré en h, 
(i) <p(A) = A 0 - 
Ai 
Al 
1.2 1.2.3 
h 3 
A „ 
I .2.3. . .Ai 
h". 
on ne pourrait pas de même, par un choix convenable de ses coeffi 
cients A 0 , 
A 2 
1.2 
A« 
, , , 0 ? réduire la différence entre f(x-\-h) 
11.2 I .2.3. . .Al J V ' 
et ce polynôme ©(A) à une expression de la forme sA», où s tendrait 
vers zéro en même temps que A; de sorte que l’erreur commise fût, 
pour h assez voisin de zéro, incompamerablent plus petite que le der- 
A« 
nier terme -- ^ —— h n , toutes les fois que A„ différerait de zéro. Et 
l’on conçoit d’ailleurs que, en donnant alors à n des valeurs de plus