DU CONTACT DE DEUX FONCTIONS; ORDRE D’UN TEL CONTACT. i/j3 
en plus élevées, le polynôme cp(A) pourrait bien sous certaines condi 
tions, par le fait du décroissement indéfini du reste ou terme complé 
mentaire £/¿", devenir, à la limite, une série convergente, rendant 
praticables l’étude et même le calcul numérique de fonctions /(¿c-t-A) 
très difficiles peut-être à aborder autrement. De plus, cette forme 
d’un polynôme, la plus simple que l’Algèbre fournisse, ainsi imposée 
à toutes les fonctions jouissant d’une variabilité assez graduelle, im 
pliquerait pour toutes, comme il vient d’être dit, l’existence de pro 
priétés communes, du moins dans le voisinage de l’une quelconque de 
leurs valeurs prise comme point de départ, et elle mettrait ces pro 
priétés en évidence. Tel est précisément le but capital que remplit la 
formule de Taylor, à laquelle sera consacrée cette Leçon. 
92. — Du contact de deux fonctions : conditions pour qu’un tel contact 
soit d’un ordre donné n. 
Comme la différence, que nous aurons à considérer, des deux fonc 
tions f{x-h A), <p( A) devra, pour les très petites valeurs absolues de 
A, être d’un ordre de petitesse en A supérieur au /¿ ième , il y a lieu 
d’indiquer d’abord ce que nous appellerons un contact plus ou moins 
élevé de deux fonctions. Nous dirons que deux fonctions de A pré 
sentent, pour la valeur h — o par exemple, un contact de l’ordre en 
tier/¿(au moins égal à i), lorsque leur différence, que j’appellerai 
<l(A), devient, dans le voisinage de cette valeur h — o, d’un ordre de 
petitesse en A supérieur au « ième , mais non supérieur au {n -+- i) ième . 
Le rapport de ^(/¿) à h n doit donc tendre vers zéro avec A, mais non 
le rapport de ^(A) à h n+i . 
Or il suit de là que les dérivées successives des deux fonctions propo 
sées, jusqu’aux/¿ ièmes inclusivement, sont, pour n nul, égales chacune à 
chacune, ou, ce qui revient au même, que celles de leur différence 
^ ( A), savoir d/( A), Y {h), ..., ( A), s’annulent comme tj/(A) à la même 
limite A = o. Pour le démontrer, attribuons d’abord à la variable A 
des valeurs croissantes à partir de zéro, et imaginons, en vue de fixer 
les idées, que la différence A) devienne alors positive, ce qui aura 
lieu si celle des deux fonctions proposées qu’on a retranchée de l’autre 
est la plus petite des deux dans les conditions supposées. L’écart po 
sitif A) des deux fonctions aura, d’après l’hypothèse, avec A", un 
rapport tendant vers zéro en même temps que A, et, par conséquent, 
inférieur à tel petit nombre positif qu’on voudra, pourvu que A reste 
lui-même assez petit. Il viendra, tout à la fois, en appelant