CAS OU LES ACCROISSEMENTS 11 SONT PETITS.
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devient la série de Taylor quand on y fait grandir n indéfiniment
et que R„ tend vers zéro. La deuxième fournit une expression très
simple de l’erreur R re que l’on commet sur f{x 4- h) en arrêtant à un
certain terme le développement de la série. Dans le cas /1 = 1, qui
nous a servi de point de départ, cette expression se réduit bien à
//[/'(j + 6/i)—/(æ)], comme l’indiquait la relation fondamentale
de la page 35.
Les seules conditions qu’il ait fallu admettre, relativement à la
fonction /¿) —j\x + h) — cp(A), pour établir la formule (n) de R„,
ont été la continuité de cette fonction et de ses n premières dérivées,
dans tout l’intervalle compris entre la valeur zéro de h et sa valeur
actuelle. Or ces conditions seront satisfaites si, d’une part, le poly
nôme cp(/i) est continu, ce qui exige que A 0 , A 1; A 2 , . . ., A„, ou f{x),
f'{x), f"{x), . .., fW (x), n’aient pas leurs valeurs infinies, et, d’autre
part, si les fonctions f{x -+- h), f\x 4- h),f"(x-yh), . . ., /(x + h )
ne cessent pas elles-mêmes d’être continues entre les valeurs extrêmes
x el x-h h de leur variable.
Alors, en considérant spécialement les très petites valeurs absolues
de h, le développement obtenu exprimera la décomposition de
f{x-hh) en éléments, /(¿c), / î; ~~ h 2 , .. ., d’un ordre de pe
titesse de plus en plus élevé. Par conséquent, la série convergera
très vite : le rapport d'un terme au précédent (abstraction faite de ceux
qui seraient identiquement nuis) y contiendra le facteur h et sera
comme infiniment petit. Mais, de plus, elle convergera bien vers
f{x-\-h)] car on voit, par le second membre de (11), que le rapport
h 11
du reste R„ au dernier terme employé —— x ) égalera le
quotient, évanouissant avec //,
4- 6h) — /'(«)(a;)
f M {x)
dont le divi-
dende est l’accroissement de la fonction continue pour le très
petit changement 0h de la variable, et dont le diviseur f( ,l ï{x), indé
pendant de //, diffère de zéro si l’on admet que le dernier terme en
question auquel on s’est arrêté en diffère lui-même.
La continuité de la fonction f et de ses dérivées étant admise, il
faudrait donc, pour que f{x 4- h), lors d’accroissements h très faibles,
échappât au développement par la série de Taylor, que les dérivées
successives /\x), f"{x), f"\x), ..., jusqu’à l’infini, fussent nulles
pour la valeur particulière x choisie. Alors la formule (10) ne trou
verait, pour ainsi dire, rien à extraire de la quantité f\x 4- h), ou,
du moins, de sa partie variable /{x 4- h) — /(¿f); car celle-ci, réduc-