FORMULE ET SÉRIE DE MAC LAURIN. 
rinite évidemment à F(x) —f{X) pour x — X, redevient égale à 
/(X) quand x, s’éloignant de X, atteint la seconde limite fixe que l’on 
considère : car M désigne justement la quantité qu’il faut pour que 
cela soit. Donc, d’après un théorème de la deuxième Leçon (p. 35), 
la dérivée, F'(#) — M/?(X — x)f’~ 1 , s’annule dans l’intervalle, pourvu, 
du moins, qu’elle y soit continue comme la fonction; ce qui aura lieu 
si fet ses n i premières dérivées le sont. En appelant encore æ + O/î 
la valeur intermédiaire dont il s’agit, on aura 
F'(ar-f-9A) — Mp(h — 0A)p-»= o; 
, T F'(# -+- 0/г) 
p(h — 0 h)P— 1 
Substituons à F'(a;-t-6h) sa valeur, déduite comme précédemment 
de (16), puis multiplions par hp pour obtenir MhP ou R„, et nous au 
rons la formule de M. Roche : 
(i8) 
Celle de Cauchy, (17), s’en déduit en donnant à p la plus ¡Telile valeur 
entière possible 1 et, celle de Lagrange, (1 2), en donnant à p la valeur, 
a -h 1, qui fait disparaître les facteurs h — 0h. 
93. — Formule et série de Mac Laurin : développements de e x , 
cosx et sin#. 
La formule (10) de Taylor donne celle de Mac Laurin lorsqu’on y 
compte les accroissements h à partir d’une valeur nulle de la variable, 
en prenant ainsi x=zo. Si l’on remplace ensuite h par la lettre x de 
venue disponible, on trouve 
(19) /И=/(о)+*/(о)+^Ло) 
Les expressions (11), (12), (17), (18) de R„ se transforment d’une 
manière analogue. Par exemple, la première, (11), et celle de Cauchy, 
(17), deviennent, l’une, 
(2°) 
l’autre, 
( 2 1 ) 
[/t»)(0a?)_/ (e) (o)], 
Enfin, le second membre de la formule (19) prend le nom de série