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DÉVELOPPEMENT DE (rt + ê)
96*. — Application de la série de Taylor au calcul le plus approché
possible des dérivées d’une fonction par le moyen de deux ou de
plusieurs valeurs voisines de la fonction.
(Compléments, p. i3a* ).
97. — Application de la série de Mac Laurin au développement de
(a-\-b) m , c’est-à-dire à la formule du binôme généralisée.
Un des exemples les plus importants qu’on puisse donner de l’em
ploi des séries de Taylor ou de Mac Laurin dans le cas d’accroisse
ments h ou x de grandeur notable est le développement, par la for
mule du binôme, de («H- b) m , quand l’exposant m cesse d’être entier
et positif. En général, ce développement suivant les puissances ascen
dantes de b ne reste alors possible, c’est-à-dire convergent, que lors
qu’on a choisi pour b la plus petite (en valeur absolue) des deux
parties de I expression a H- 6; et il est d'ailleurs, conformément à ce
qu’on a démontré en Algèbre pour le cas de m entier,
1 , , . m , 7 m m — i
| ( a + b ) m = a' n H a m ~ x b n — a m ~ ï h 1 *- -+-...
! I [ 2
(25)
I m m — t m — •>. m — n -+-1
f h —-— • • • a m ~ n b ri -\-
12 2 II
Seulement m se trouvant soit négatif, soit fractionnaire, aucun des
facteurs m, m — i, m — 2, m — 3. ... n’est nul et ne fait disparaître
les termes où il figure, c’est-à-dire tous ceux qui viennent après un
certain rang; d’où il suit que l’expression ne se termine plus et cesse
d’être un simple polynôme pour devenir une série. C’est l’égalité de
celte série à (a + b) m qu’il s’agit de démontrer.
Dans ce but, appelant x le rapport - , compris, par hypothèse,
entre — i et + i, mettons la formule (25), en divisant ses deux mem
bres par a m , sous la forme
m ni m — i
i -1 x H x 1 H- . . .
I I 2
m m — t in — 2 m — n -+-1 n
i 2 5 n
et voyons si la série de Mac Laurin (19), dans laquelle on poserait
J\x) — (1 h- x)" 1 , ne donnerait pas justement cette formule (26). De