OU FORMULE DU BINOME GÉNÉRALISÉE. 
10" 
U7) 
f{x) = (i + x) m , la différentiation déduit 
/ f\x) — + 1, 
\ f"{x) — /n(m — i)(i -i- x) m ~ 2 , 
i f M {x) = ni(m — i) ... (m — n -+- i)(i -i- x) m ~ n , 
/("+!’(#) = /77 ( 711 — l ) ... (777 — /7)(I -f- #)77t-l-B; 
d’où il résulte, vu d’ailleurs que/{o) ~ i, 
j/(°) = G /X°) — m, /"(o) = 777 ( 777 — I), ..., 
1 f [ll) {o) — 777 ( 777 l) ... (777 — 77 -f- l), 
et aussi, pour l’appréciation du reste R„ par la formule (21) de 
Cauchy, 
/ U+1, ( Qx) = 777 ( 777 — I ) ( 777 — 2 ) . . . ( 777 — 77 ) ^ 1 ‘ ^ \ 
7 (h-6îp)« 
On voit, d’une part, que ces valeurs, portées dans le second membre 
de (19), donnent bien pour (1 + x) m le développement voulu (26), et 
que, d’autre part, 1’expression (21) du terme complémentaire P»,, 
peut s’écrire, en y groupant convenablement les facteurs, 
R^— [777.77(1 -+- J ] 
7?. x — 6 x 
§x 
Il suffit donc de prouver que ce reste tend vers zéro quand n grandit 
indéfiniment. 
Et d’abord, le facteur mx{i -+- §x) m ~ l y est compris entre les deux 
valeurs qu’il reçoit aux deux limites 6 = o, 0 = 1, valeurs qui sont 
mx, mx (x -1- x) m ~ 1 et qui se trouvent toujours finies (môme la se 
conde, où l’exposant 777 — 1 peut bien être négatif, mais où i+x, 
par hypothèse, dépasse zéro). Ainsi, ce premier facteur n’empêchera 
pas R„ de tendre vers zéro, pour n croissant, si le produit des autres 
facteurs y tend. Or ces autres facteurs sont de la forme 
777 — 7 x 
i 1 
Oj? 
Ou; 
777 \ x — 6 x 
i J 1 4- 6 x ’ 
avec i égal successivement à 1, 2, 3, . . ., 77. Dès que i devient assez 
grand par rapport à /77, leur valeur absolue diffère donc aussi peu 
6.7 
qu’on veut de celle de la fraction 
§x 
; et il est aisé de reconnaître