VALEUR LA PLUS GRANDE ET VALEUR LA PLUS PETITE D’UNE FONCTION. l6r
de la variable et seront les ordonnées y — B'B, y— D'D; ses minima
se produiront pour x = OC', x == OE' et seront y — G'C, y ~ E'E.
Un minimum peut, d’après cela, se trouver plus grand qu’un maxi
mum, comme est, par exemple, le minimum E'E, supérieur au maxi
mum B'B; et, de plus, des valeurs qui ne sont ni maximum ni mini
mum peuvent être, soit supérieures au plus fort maximum, comme
/=G'G par exemple, soit inférieures au plus faible des minima,
comme est, sur la figure, l’ordonnée négative y — —OA.
Il arrive assez fréquemment que les variables indépendantes, dans
la question proposée, n’ont pas à sortir de certaines limites, quoique
la fonction puisse continuer à exister au delà. Si l’on considère, par
exemple, la distance d’une origine de coordonnées rectangulaires x et y
aux divers points (x, y) d’une circonférence de rayon /• avant son
centre sur l’axe des x, son carré x 2 -y y 2 est une certaine fonction de
x dont les valeurs utiles tombent toutes entre les deux limites
x~azpr, où a désigne l’abscisse du centre, puisque le cercle n’a
aucun point hors de ces limites; et, cependant, d’après l’équation
{x — a) 2 -hy 2 = r 2 du cercle, l’expression de ce carré x 2 -\-y 2 est la
fonction linéaire r 2 — a 2 -h 2 ax, que rien n’empêche de prolonger
fictivement en deçà de la valeur x = a -— r, jusqu’à x —— 00, et au
delà de la valeur x — a H- r, jusqu’à x — 00.
11 importe d’observer que, dans de pareils cas, la plus grande et la
plus petite des valeurs à considérer de la fonction ne sont nécessaire
ment un maximum ou un minimum que lorsqu’elles se produisent à
l’intérieur des limites; de sorte qu’on puisse, sans sortir de ces der
nières, faire varier très peu, dans tous les sens, les variables indépen
dantes, de part et d’autre de leurs valeurs donnant la plus forte ou la
plus faible valeur cherchée de la fonction. Mais quand, au contraire,
celle-ci se produit aux limites mêmes, rien ne dit que la fonction ne
pût pas ou croître ou décroître encore, si l’on venait à en sortir, et la
valeur cherchée n’est généralement ni un maximum, ni un minimum.
C’est ainsi que, dans la courbe PQ ci-dessus, les ordonnées — OA et
G'G, sans être ni des minima, ni des maxima, sont respectivement la
plus petite et la plus grande des ordonnées comprises entre les limites
x ~ o et x OG'.
On peut donc énoncer le principe suivant, qu’il y a lieu quelquefois
d’appliquer : La valeur la plus petite et la valeur la plus grande
d’une fonction continue doivent être cherchées,soit parmi ses minima
et ses maxima, soit parmi les valeurs qu’elle prend aux limites de l’es
pace dans lequel se meuvent ses variables. Si l’on demande, par exem
ple, la plus courte et la plus longue des droites qu’on peut mener de
B. — I. Partie élémentaire. n
