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MAXIMA ET MINI MA DES FONCTIONS DUNE SEULE VARIABLE :
l’origine à la circonférence ayant pour équation {x— a)-y-— r' 1 ,
on observera que le carré x- -+- y- de ces droites, exprimé par la fonc
tion linéaire, sans cesse variable dans le même sens, r-— a 2 + 2 ax,
n’a ni minimum ni maximum, et que, par conséquent, les valeurs
demandées sont précisément celles que reçoit la fonction aux deux
limites x = a =p /• entre lesquelles varie x.
100. — Théorie générale des maxima et des minima des fonctions
d’une seule variable : principes de Fermât et de Képler.
De part et d’autre de la valeur x qui rend maximum ou minimum
une fonction y — j\x), celte fonction décroît dans le cas du maximum
et croît dans le cas du minimum, de manière à passer deux fois, dans
le voisinage, par un même état de grandeur, savoir, pour deux va
leurs x — £ et x £i de la variable, infiniment voisines, et qui sont,
l’une, x — £, inférieure, l’autre, x-he ly supérieure à la valeur cher
chée x. Réciproquement, une fonction donnée f{x) ne se maintenant
pour ainsi dire jamais constante d’une manière continue entre deux
valeurs distinctes (fussent-elles infiniment voisines) de la variable,
l’égalité de deux valeurs successives f(x — e) et f{x-1-^) de la fonc
tion est un indice suffisant que cette fonction éprouve, dans l’inter
valle, un accroissement suivi de décroissement ou un décroissement
suivi d’accroissement, c’est-à-dire un maximum ou un minimum. On
admet, bien entendu, dans le très petit intervalle considéré, la conti
nuité de la fonction, et sa détermination parfaite, c’est-à-dire l’unité
de la série de ses valeurs entre /(x — £) et /(æ + îi). Sous ces ré
serves, on peut donc énoncer le principe suivant, mis en vue vers le
milieu du xvii e siècle par le profond géomètre français Fermât et, peu
après, par Huygens : La valeur de la variable qui rend maximum
ou minimum une fonction y= t f{x) est celle que comprennent entre
elles deux valeurs infiniment voisines donnant à la fonction une
même grandeur. Autrement dit, si, en attribuant à la fonction y une
suite croissante ou décroissante de valeurs, il arrive que l’équation
y — f{x), résolue par rapport à x, ait deux racines de moins en moins
inégales, dont la différence tende vers zéro, la limite commune inter
médiaire x où elles viennent se joindre est la valeur de la variable pour
laquelle se produit un maximum ou un minimum, dernier terme de la
suite croissante ou décroissante considérée des valeurs de y.
Admettons, par exemple, que l’équation y— f{x) soit du second
degré en x. Alors l’égalité cherchée des deux racines s’obtiendra évi
demment en annulant le radical à double signe, de la forme ± ^o(y),
