THEORIE GENERALE ; PRINCIPE DE FERMAT ET DE KEPLER. 
63 
auquel conduit la résolution de celte équation ; elles maxima ou minima 
de / seront ainsi donnés par la relation ©(/) —o. Or x et, par 
suite, <?(/) étant supposés continus, ces valeurs de/, qui annulent 
o(/), séparent, sur l’axe des / où l'on projetterait les divers points 
de la courbe y — J\x), les régions dans lesquelles la fonction 
ç(/) est positive, et le radical (/) réel, de celles où elle est néga 
tive et où, le radical ycp(/) s’y trouvant imaginaire, l’ordonnée/ ne 
peut se terminer pour aucune valeur réelle de x. Il y a donc, dans le 
cas simple d’une équation en 3? du second degré, parfaite concordance 
entre le principe général de Fermât et la méthode donnée spéciale 
ment pour ce cas en Algèbre élémentaire, méthode qui consiste 
à chercher entre quelles limites la quantité sous le radical ne devient 
pas négative. 
Mais introduisons la notion de dérivée dans le principe de Fermât ou 
de Huygens, exprimé par la formule f{x h- î t ) —f{x — e) — o; et ad 
mettons d’abord que la fonction /= f{x) ait ses dérivées successives 
continues jusqu’à la plus élevée de celles que l’on pourra être appelé 
à considérer. Alors, si l’on fait tendre £ et, par suite, ^ vers zéro, le 
rappo 
rt nul 
f{x-^z¡)—f{x—z) 
qui est celui de deux accroissements 
{X£1) — (x — z) 
simultanés de la fonction et de sa variable, ne peut évidemment pré 
senter avec la dérivée correspondante f\x — s) qu’une différence 
évanouissante, en sorte qu’il vient à la limite f\x) — o. Ainsi, la 
pente f\x) de la fonction s'annule aux instants de maximum ou de 
minimum; ce que montrent bien, sur la courbe précédente PQ, les 
tangentes menées aux points B, C, D, E. Et, si l’on se souvient d’ail 
leurs que la dérivée f\oc) est la limite de ou lim,/( x + ^ )—f(&)^ 
son annulation revient à écrire — une quantité extrêmement pe 
tite s; ce qui signifie qu'au moment oà une fonction devient maxi 
mum ou minimum, tout accroissement très petit, positif ou négatif, 
donné ci la variable, ne fait éprouver à cette fonction qu un accrois 
sement incomparablement moindre encore; ou, plus brièvement, 
qu 'une fonction n'a pas de variations sensibles aux environs de ses 
maxima et de ses minima. 
Sous cette forme un peu généralisée, consistant à écrire f\x) = 0 
ou Af(x) —z\x au lieu de Af{x — e) = o, le principe de Fermât 
est un des plus importants de la Philosophie naturelle, et son extrême 
simplicité a dû le faire connaître ou, du moins, pressentir de tout 
temps; mais Képler paraît, le premier, l’avoir formulé assez explicite-