MAXIMA ET MINIMA DES FONCTIONS D’üNE SEULE VARIABLE ;
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ment, vers le commencement du xvir siècle, pour mériter de lui don
ner son nom. Ce principe n'énonce pas d’ailleurs, aussi bien que sous sa
première forme A/(ar — z) — o ou f{x -h £ t ) —f{x — z), une condi
tion suffisante de maximum ou de minimum, mais seulement une con
dition nécessaire; car il peut arriver exceptionnellement, comme au
point F de la figure ci-dessus, que la pente y' de la fonction s’annule
sans changer de signe, ou que la fonction ne cesse pas soit de croître,
soit de décroître, à l’instant où ses variations deviennent incompara
blement plus faibles qu’ailleurs ; et alors cette fonction, ne passant pas
deux fois par la môme valeur, n’est ni maximum, ni minimum.
Il faut donc, à la condition f\x) — o, en joindre d’autres pour ex
primer complètement un maximum ou un minimum. A cet effet, con
sidérons la dérivée seconde f"{x). Elle est, en général, différente de
zéro au moment où la dérivée première f'{x) s’annule; et celle-ci, en
train de décroître quand f"{x) se trouve négative, en train de
croître quand f'\x) se trouve positive, passe, dans le premier
cas, du positif au négatif et, dans le second, du négatif au positif, à
l’instant où elle est nulle. Donc la fonction proposée f{x) cesse alors
ou de croître ou de décroître, et l’on a f{x — z) <gf{x) > J\x 4- sj)
dans le premier cas, f{x — z) y>f{x) <if{x H- £j) dans le second.
Ainsi, la fonction proposée f{x), au moment où sa dérivée première
s'annule, est maximum ou minimum suivant qu’elle a sa dérivée
seconde f" (x) négative ou positive.
Mais qu’arrive-t-il quand cette dérivée seconde f'\x) est actuelle
ment nulle, comme la première/'^)? Le maximum ou le minimum
existant à la condition nécessaire et suffisante que la dérivée première
f\x) passe du positif au négatif ou du négatif au positif et, par con
séquent, soit dans une période ou de décroissance, ou de croissance,
cela revient évidemment à dire que la dérivée secondef"(x), actuelle
ment nulle par hypothèse, doit, pour cela, rester ou négative, ou po
sitive, dans tout le voisinage, c’est-à-dire être elle-même actuellement
maxima ou minima comme f{x). Donc sa propre dérivée première,
f"\x), doit s’annuler, et sa dérivée seconde, f iy {x), être soit négative
dans le cas du maximum ou positive dans le cas du minimum, soit
maxima ou minima elle-même si elle est actuellement nulle. En pas
sant, dans ce dernier cas, aux dérivées suivantes f y {x), f"(x) et
continuant de même, on voit que la question de savoir si la valeur
considérée de x, racine de l’équation f{x) = o, donne un maximum
ou un minimum def(x), sera tranchée pourvu que cette valeur, por
tée dans les dérivées successives f\x), f"'{x), .. ., ne les annule pas
toutes. Alors, en effet, si la première de ces dérivées qui différera de