DISTANCE MINIMUM D’UN POINT A UNE COURBE.
y — M'M ou à l’ordonnée minimum au contraire, dans
le second cas, sa forme sera comme HNK ou HjNjKi, et la pente,
tout en devenant infinie en N ou en N n conservera son signe, de sorte
que l’ordonnée correspondante N'N, N'jNi ne sera ni maxima ni mi-
nima.
On peut souvent, sans s’inquiéter de savoir si la dérivée f\x) est
continue ou discontinue, et sans môme former l’expression de f{x),
se contenter d’appliquer d’une manière purement géométrique la
règle générale de Fermât, en exprimant sur la figure du problème à
résoudre l’égalité de deux valeurs infiniment voisines de la fonction,
et en tirant de cette égalité quelque conséquence simple qui permette
de construire le maximum ou minimum cherché. Les deux exemples
suivants, auxquels je me bornerai, montreront comment on procède.
101. — Premier exemple ; distance minimum d’un point à une courbe.
Etant donnés une ligne quelconque BC, un point A situé ailleurs que
sur elle et une droite mobile AM, menée de ce point à la ligne BC
et définie par l’arc BM=n qui mesure
sur la courbe la distance de son extré-
b mité variable M à une origine fixe B, on
demande de construire cette droite dans
la situation AN où elle est lapins courte.
Il s’agit donc de rendre minimum la lon
gueur AM, qui est évidemment une cer
taine fonction géométrique f{s), bien
A
\c continue, de l’abscisse curviligne s : si,
par exemple, la courbe BC s’étend à
l’infini des deux côtés de B et de G, f(s) décroît d’abord, à partir
de l’infini, pour croître ensuite indéfiniment, quand s grandit de —oo
à -t-oo; et le minimum existe bien.
Pour le déterminer, prenons sur la courbe, de part et d’autre du
point N qui le définit, deux points infiniment voisins, m et m', tels
que, en vertu du principe de Fermât, les deux valeurs correspon
dantes A m et A m' de la fonction soient égales. La corde infiniment
petite mm' pourra être confondue, quant à la direction, avec la tan
gente menée soit en m, soit en N. Or, dans le triangle isoscèle mAm',
les angles à la base m ou m', compléments de la moitié de l’angle
infiniment petit au sommet A, ne diffèrent pas, à la limite, d’un
droit et, par conséquent, les côtés Am, Am', quand ils viennent se
confondre avec AN, sont perpendiculaires à la tangente en N. Ainsi,