PROBLÈME DE LA RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE TRAITÉ PAR FERMAT. 1G7
la plus courte distance demandée est une normale menée de K à la
courbe.
On démontrerait de même que, lorsqu’il existe une droite de
longueur maximum entre un point et une courbe, cette droite
est normale à la courbe.
102. — Deuxième exemple : problème de Fermât sur la réfraction
de la lumière; loi de l’épargne ou de la moindre résistance.
Fermât, pour se rendre compte des phénomènes de la réflexion et
de la réfraction, admit que la lumière, en allant d’un point à un
autre, choisit le trajet susceptible d’être parcouru dans le moins de
temps possible ; et ce principe a été confirmé depuis par la théorie
des ondes lumineuses. On conçoit, en effet, que, parmi tous les
mouvements vibratoires envoyés d’un point à un autre à travers di
vers milieux ou par diverses voies, mouvements dont le plus ou moins
de désaccord au point d'arrivée dépend de l’intervalle de leurs départs
que mesure la différence des temps passés en route, les plus vite venus
soient les seuls qui subsistent à ce point d’arrivée, ou qui s’y trouvent
en assez grand nombre concordants pour n’être pas neutralisés en en
tier par d’autres de sens inverse; car, vu justement la quasi-invaria
bilité, près du minimum, de la fonction exprimant la durée des trajets,
les mouvements arrivés par des chemins voisins du plus tôt parcouru
ont tous exigé très sensiblement le même temps et sont, par suite,
beaucoup moins discordants que les autres, ou constituent, dans l’en
semble, un groupe dont il subsiste quelque chose après la neutralisation
mutuelle de tout le reste de l’ensemble. Aussi sont-ils les seuls qu’on
observe, conformément au principe énoncé de l’économie du temps.
Fermât fut conduit à ce principe simple en remarquant d’abord
qu’il était vérifié dans la transmission de la lumière à travers un mi
lieu homogène et dans sa réflexion sur la surface limite d’un tel mi
lieu, cas où, la vitesse de propagation (fonction de la nature du mi
lieu) étant constante, la durée minimum du trajet correspond au
chemin le plus court en longueur. Or on savait depuis 1 antiquité
que la lumière, quand elle se transmet à travers un même milieu ou
qu’elle se réfléchit sur une surface, choisit bien, entre deux points
donnés, l’un de départ, l’autre d’arrivée, la trajectoire minirna, con-
située dans un cas par la ligne droite et, dans l’autre, par une ligne
brisée dont l’angle a sa bissectrice normale à la surface ( 1 ). Fermai
(’) On démontre facilement par la Géométrie élémentaire, du moins quand la
surface réfléchissante est plane, que cette ligne brisée a bien la longueur mini-