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PROBLÈME DE LA RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE, TRAITÉ PAR FERMAT 
étendit ensuite, par induction, son postulatum de l’économie du temps 
au phénomène de la réfraction, dans lequel la lumière passe d’un pre 
mier milieu, où sa vitesse par seconde a une certaine valeur Y, à un 
second milieu où sa vitesse prend une valeur différente V', et il put 
alors expliquer comme il suit les lois de ce phénomène. 
Soient A le point de départ de la lumière, B le point d’arrivée, 
A' et B' les projections de ces points sur la surface de séparation des 
deux milieux, supposée plane, et, par 
suite, A/B' l’intersection de cette surface 
par le plan normal mené suivant A et B, 
plan de symétrie de la figure que for 
ment A, B et les deux milieux. Tout 
trajet allant de A à B et qui sortirait du 
plan AA'B B' aurait évidemment, dans 
chaque milieu, plus de longueur que sa 
projection sur ce plan de symétrie. Donc 
le trajet de durée minimum y est com 
pris, et se trouve constitué par une des 
A 
lignes brisées, comme AMB, dont le sommet M est sur A'B', 
lignes que définit complètement l’abscisse OM — x de ce point M, 
comptée le long de la droite A'B' à partir d’une origine arbitraire O. 
Comme le chemin correspondant AM dans le premier milieu serait 
parcouru avec la vitesse V et le chemin MB dans le second milieu 
car, si le point M parcourt la droite indéfinie OB, ou que x varie de 
— go à oo, la durée du trajet, infinie aux deux limites et finie dans l’in 
tervalle, ne pourra manquer, à un certain moment, de se mettre à 
grandir après avoir décru. 
Pour construire la trajectoire AMB telle qu’elle est à ce moment, 
mum parmi toutes celles qui vont toucher la surface. Il suffit, pour le voir, d’ob 
server qu’elle devient une droite quand on substitue à son premier côté la droite 
symétrique par rapport au plan réfléchissant, tandis que toute autre ligne brisée 
aboutissant aux mêmes extrémités se change, par une substitution analogue, on 
une autre ligne brisée menée entre les deux extrémités de la droite précédente et, 
par conséquent, plus longue qu’elle. Du reste, la démonstration par la méthode 
infinitésimale, donnée ci-après pour la réfraction, s’applique sans changement au 
cas de la réflexion.