AU -MOYEN DU PRINCIPE DE L’ÉCONOMIE DU TEMPS.
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imaginons que l'on prenne de part et d’autre, d’après le principe de
Fermât, deux trajets infiniment voisins A 7« B, A/n'B, d’égale durée.
Abstraction faite de leurs parties pareilles que l’on obtient, par la
construction des deux triangles isoscèles Am P, Bm'Q, en portant
Am sur Am 7 , en AP, et Bm' sur Bm, en BQ, il reste à comparer la
partie Pm 7 du second trajet à la partie mQ du premier, pour expri-
i P m' mQ 1,1
mer que la cliirerence des temps, et , employés a les parcou
rir, est nulle. L’équation du minimum est donc
P m' m Q
"Y" = ~V 7 ' '
Exprimons-y, en fonction de la variation infiniment petite mm' de la
variable indépendante, les variations absolues simultanées Pm 7 , mQ
des deux parties du trajet; et observons, pour cela, que, dans les deux
triangles mPm 7 , m'Qm, la proportion des sinus donne
P m' =
, sin P mm'
m Q
, sin Q ni'ni
sinP ^ sin Q
Il viendra, par la suppression du facteur commun mm',
sin P mm' sinQm'm
V sin P V'sinQ
Or, dans celte relation, les angles P et Q ne défiassent évidemment
un droit que de la moitié des angles infiniment petits au sommet A, B
des triangles isoscèles Am P, Bm'Q; de sorte que, à la limite, sin P
et sinQ se réduisent chacun à l’unité. D’ailleurs, si l’on mène dans les
deux milieux respectifs les normales m N, m'N 7 à leur surface de sé
paration, et qu’on appelle i et r ce que deviennent les angles AmN,
Bm 7 N 7 à la même limite, où m, m 7 se confondent et où A m est le
rayon incident, m'B le rayon réfracté, on aura, toujours à la limite,
Pmm'—i, Qm'm = /■; car les compléments, PmN, Qm 7 N 7 , de
Pmm 7 et de Qm' m, seront aussi les compléments de i et r lorsque les
bases mP et Qm 7 des triangles isoscèles AmP, BQm 7 prendront
leurs directions finales, perpendiculaires aux côtés, alors confondus,
émanés respectivement de A et B. Ainsi l’équation définitive du mi
nimum est
sin é sin/’ sin V
V Y' sin r Y 7 ’
i et /• étant les deux angles dits cVincidence et de réfraction.
Or on sait que celte formule exprime justement la loi expérimen-
