MAXIMA ET MINIMA DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES.
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que, si, à l’inverse, f{x + lit, y -+- Kt, z -f- ht), est, pour l — o, mi
nimum ou maximum quels que soient les rapports mutuels de II, K,
L, la valeur f{x, y, z) sera ou inférieure ou supérieure à toutes les
valeurs voisines, j\x -+- h, y -+- k, z h- /), obtenues en prenant pour
H, K, L les quotients de h, k, l par une quantité t du même ordre de
petitesse, et que, par conséquent, f{x, y, z) sera minimum ou maxi
mum. Ainsi, chercher les minima ou les maxima d’une fonction
j\x,y,z) de plusieurs variables indépendantes, c’est chercher à
quelles conditions se produit, pour t~o, un minimum ou un maxi
mum des fonctions /(¿TH-H t, j-q-Ki, z-y-ht) d’une seule va
riable t.
Bornons-nous à l’hypothèse de la continuité des dérivées partielles
des deux premiers ordres de la fonction f{x, y, z), et au cas ordi
naire où l’existence des maxima et des minima à considérer de
f(x-hHt, y-\-lkt, z-\-ht) dépend des deux seules dérivées première
et seconde de/par rapport à t.
Vu la forme linéaire, en t, des fonctions simples x -+- Hi, y -t- Kp
z -{-ht entrant dans Fexjn’ession de f, ces deux dérivées se formeront
suivant la règle du n° 58 (p. 112).
Et d’abord, d’après le principe de Fermât ou de Képler, la dérivée
première devra s’annuler pour t — o ; ce qui, n’oublions pas de le re
marquer, étend évidemment aux fonctions de plusieurs variables la
grande loi de leur quasi-invariabili té dans le voisinage d’un mini
mum ou d'un maximum. Or cette dérivée première de f en t est
évidemment, pour t = o,^H +^K-(-^L. L’égaler à zéro, c’est
1 dx dy dz
donc écrire, en multipliant par t et rétablissant ainsi h, k, l au lieu
de Hi, Ki, ht,
(0
df
dx
df
dy
df j _
dz
D’ailleurs les petits accroissements arbitraires, positifs ou négatifs,
h, k, l, peuvent être aussi bien regardés comme les différentielles des
variables indépendantes x, y, z ; et la relation (1) revient à poser
(2)
df df df
-y- dx -f- -f- dy H—j— dz — o ou dj — o.
CfOC éïE Ci.*»
Ainsi, quand la fonction f{x, y, z) est maximum ou minimum,
sa différentielle totale s’annule identiquement pour les valeurs
actuelles des variables.
Les rapports mutuels de dx, dy, dz, dans (2), ou de h, k, l, dans
(1), étant arbitraires, ces relations supposent nul, séparément, chacun