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MAXIMA ET MINIMA DES FONCTIONS DE PLL'SIEURS VARIABLES : 
de leurs termes, auquel leur premier membre se réduirait si l’on choi 
sissait l’accroissement correspondant /¿, k ou l différent de zéro et les 
autres accroissements nuis. L’équation unique df—o équivaut donc à 
annuler toutes les dérivées partielles premières de f, ou à poser, entre 
les inconnues x, y, z, le nombre égal de relations 
(3) 
df _ 
dx °’ 
df _ 
dz 
C’est, par conséquent, ce système (3) d’équations, admettant géné 
ralement pour x, y, z un nombre fini de valeurs, qu’il faut d’abord 
résoudre quand on traite analytiquement le problème. Après quoi, il 
ne reste plus qu’à chercher si chacun des systèmes ainsi obtenus de 
valeurs rend la fonction /{x, y, z) minimum ou maximum, ou ne la 
rend ni maximum ni minimum. 
D’après la règle simple donnée ci-dessus (p. i64), on le reconnaît à 
i • d 2 f 
l’examen du signe que prend, pour t — o, la dérivée seconde . Or 
celle-ci est alors — 4- K ~ -t- L /(.r, y, z), ou bien, en dé 
veloppant et multipliant par t 2 pour pouvoir substituer à H t, K t, L t 
les petits accroissements effectifs h, k, l, 
(4) 
dx 2 
h 2 -f 
*f 
dy 2 
k 2 
dff 
dz 2 ' 
d\f 
dy dz 
kl 
d 2 f 
dz dx 
Ui 
d 2 f 
dx dy 
hk. 
Appelons A, B, C, D, E, F les valeurs actuelles des dérivées se 
condes respectives, tant directes (en x, y, z) qu’obliques (en y et 
z e l x, x et y), de la fonction proposée f{x,y, z)-, et le polynôme 
(4), dont le signe décide de l’existence du minimum ou du maximum, 
s’écrira plus brièvement 
( 5 ) A h 2 4- B k 2 4- G l 2 4- 2 D kl + a E Ih 4- 2 F hk. 
Abstraction faite du cas où l’expression (5) s’annulerait sans changer 
de signe et où il y aurait lieu de recourir aux dérivées d’un ordre su 
périeur au second , il faudra et il suffira que, les rapports mutuels de //, 
k, l recevant toutes les valeurs possibles, ce polynôme homogène du 
second degré en h, k, l soit positif, pour qu’il y ait minimum, néga 
tif pour qu’il y ait maximum, tantôt positif et tantôt négatif, 
pour qu’il n’y ait ni maximum ni minimum. En effet, la fonction 
J\x 4- H t, y 4- Ki, 5 4- L t) sera, pour t — o, constamment minimum 
dans le premier cas, constamment maximum dans le second, et enfin, 
dans le troisième, minimum pour certains rapports mutuels de II, K, 
L et maximum pour d’autres, ce qui, donnant des catégories de va