THEORIE GENERALE. 
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leurs f{x -y h, y -+- k, z h- /) supérieures à f{x, y, z) et d'autres in 
férieures, empêchera tout à la fois f{x, y, z) d’être un maximum et 
d’être un minimum. 
La question revient donc à trouver ce que doivent être les coeffi 
cients A, B, C, D, E, F du polynôme (5) pour que ce polynôme soit 
ou essentiellement positif ou essentiellement négatif. 
A cet effet, supposons-le d’abord essentiellement positif, et cher 
chons à le décomposer en une suite de carrés. Comme, parmi les hv- 
pothèses que l’on peut faire sur h, k, l, il y a celle où un seul de ces 
accroissements, h par exemple, ne s’annulerait pas, le terme A/t 2 au 
quel le polynôme se réduirait alors est tenu d’avoir le signe plus. Une 
première condition est donc A>o; ce qui permet de mettre A en 
facteur commun dans tous les termes de (5) où h figure, et de dédou 
bler ainsi l’expression (5) en deux parties, dont une seule, 
cou tient h. Or il suffit d’ajouter à cette première partie, dans la grande pa- 
F E 
renthèse, le carré de k H- — /, expression de même forme en k, l que 
la seconde partie, et puis (afin de ne pas altérer l’expression totale) 
de retrancher de la seconde partie le produit de ce même carré par A, 
pour avoir extrait du polynôme homogène (5) un premier carré, sa- 
; après quoi il reste une expression 
(6) 
de même forme que la proposée (5), mais avec la variable h en moins. 
Comme, d’ailleurs, quels que soient k et l, le polynôme essentielle- 
F E 
ment positif (5) se réduit à (6) par l’hypothèse h — k — — l an- 
nulant le carré, ce nouveau polynôme (6) n’est pas moins astreint 
que le proposé (5) à avoir toutes ses valeurs positives. Un raisonne 
ment identique au précédent, mais où k jouera le rôle qu’avait h, 
prouvera donc qu’on doit avoir B — -j- > o et permettra d’extraire de 
(6) un nouveau carré en k et l, laissant après lui un nouveau poly 
nôme homogène du second degré, essentiellement positif encore, avec 
la variable k en moins. On continuera de même jusqu’à ce qu’il ne 
reste plus qu’une seule variable et, par conséquent, qu’un seul terme, 
affecté du carré de celte variable ou ayant de lui-même (vu la nature