MAXIMA ET MINIMA DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES :
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supposée positive de son coefficient) la forme voulue. Appelons, pour
abréger, B', G', D'ies coefficients respectifs figurant dans (6) et C ff le
D' 2
coefficient, G' ; de l dans l’expression suivante qui sera ici la
dernière; et le polynôme (5) aura pris la forme désirée
(7)
A h
A k
A
B' ( k + ~ / ) H- G"/ 2 .
On voit, en résumé, que les conditions nécessaires pour qu’il y ait
minimum de/{oc, y, z) seront les inégalités
(8) A > o, B'> o, G" > o,
en même nombre que les variables elles-mêmes oc, y, z. D’ailleurs
ces conditions seront suffisantes, ou entraîneront l’existence du mini
mum; car elles feront de l’expression (y), équivalente à (5), une
somme de carrés, ne s’abaissant jusqu’à zéro que par l’annulation sé
parée de chaque carré, c’est-à-dire dans la multiple supposition, inad
missible,
D' F E
l=o, k — l = o ou k = o, /z —— /u —}— — / = o ou h = o ( 1 ).
d A A
Dans le cas du maximum, on appliquerait les mêmes considérations,
après avoir changé les signes de l’expression (5) alors essentielle
ment négative ; et l’on obtiendrait, par conséquent, comme conditions
nécessaires et suffisantes, les trois inégalités, inverses des précé
dentes (8),
(9) A < o, B'< 0, G"<o.
Enfin, si les premiers membres de ces inégalités se trouvaient avoir,
les uns des valeurs positives, les autres des valeurs négatives, il est
clair, par la démonstration même, que la fonction f{x, y, z) ne se
rait ni maximum, ni minimum.
101. — Cas particulier de deux variables.
Etudions en particulier et directement le cas simple d’une fonction
( 1 ) Cette démonstration fait voir en même temps comment un polynôme ho
mogène du second degré peut, quand il est constamment positif, se mettre sous
la forme d’une somme de carrés, forme qu’il faut, dans certaines questions de
Mécanique appliquée, savoir donner au potentiel d’élasticité d’un solide, fonction
homogène du second degré, essentiellement positive, des six petites déformations
élémentaires du solide à l’endroit considéré.
