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CAS PARTICULIER DE DEUX VARIABLES. i-p 
j\x,y) de deux variables. Ce sera, par exemple, l’ordonnée verticale 5 
(ou altitude) d’une surface, fonction de deux coordonnées horizon 
tales rectangulaires x et y. Désignons, comme dans une Leçon anté 
rieure (p. 118), par p, q, r, s, t ses cinq dérivées premières et se- 
, dz dz d ï z d^z d 2 z „ ,, , , ,, 
condes — > -7-> 7—) —,—7— 5 -7— • Un aura d abord, pour déterminer 
dx dy dx 1 dx dy dy 1 r 
les valeurs de x et de y susceptibles de rendre l’ordonnée maxima 
ou mínima, les deux équations p-=o,q=zo, qui expriment, con 
formément au principe de Fermât, l’annulation de la pente \ p i -yq 2 
de la surface aux points considérés (*), En outre, l’expression (5) se 
réduisant ici à rh 2 -\- 2shk -t- tk 2 , ou bien, sauf le facteur positif A 2 , au 
trinôme du second degré ty' 2 -4- 2 s y 1 H- /’, dans lequel y' désigne le 
rapport entièrement arbitraire ou ~ , ce trinôme, fonction conti 
nue de y', aura, pour toutes les valeurs de y', le signe -+- ou — de son 
premier coefficient t, s’il ne passe jamais par zéro, c’est-à-dire si les 
racines de l’équation du second degré obtenue en l’annulant sont ima 
ginaires, ou que l’on ait 
( I0 ) 
rt — s 2 > o ; 
ce qui fait bien, comme on sait, du premier membre de l’équation, le 
produit de la somme de deux carrés par ±1. Ainsi, l’inégalité (10) 
constitue une condition commune, nécessaire et suffisante, pour qu’il 
y ait maximum ou minimum. Quand elle se trouve vérifiée, le produit 
rt des deux dérivées secondes directes, dépassant le carré .s 2 de la dé 
rivée seconde oblique, est positif, et les deux dérivées secondes di 
rectes ont même signe : il y a donc minimum si elles sont positives, 
maximum si elles sont négatives. Lorsque, au contraire, r et t ont 
leurs signes différents, ouïe même signe mais avec un produit inférieur 
à s 2 , on n’obtient ni maximum ni minimum, la surface ayant ses points 
voisins du proposé (x, y, z) les uns, au-dessus, mais, les autres, au- 
dessous de son plan tangent horizontal mené en (x, y, z) et qui, par 
suite, la coupe. 
Il arrive d’ailleurs souvent, comme dans les cas d'une seule variable 
indépendante, que la nature de la question met en évidence l’existence 
du minimum ou celle du maximum et rend inutile la discussion pré- 
(’) On a vu à la p. 61* (du second fascicule) que l’expression \Jp--l- q- mesure 
bien en chaque point la pente de la surface; et ce sera, du reste, démontré aussi 
dans le premier fascicule, au n° 179 (formule a5).