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ET DES MINIMA relatifs; EXEMPLE. 181 
s’obtient en opérant comme quand on cherche un maximum ou mi 
nimum absolu, supposé exister, de l’expression f 4- Xcp + ¡ri; 4- . .., 
dans laquelle X, ¡a, ... désignent certaines constantes à éliminer ou 
à déterminer finalement par les équations même © r= o, 4* = o, .. .. 
On remarquera que, si X, ¡a, au lieu de se prendre constants, 
étaient assimilés, comme x, y, z, u, v, à des variables indépendantes, 
il faudrait joindre aux équations (38), pour trouver un maximum ou 
minimum absolu de f X© H- p.^ 1 , celles que donnerait l’annulation des 
dérivées partielles, cp, 4> de cette fonction par rapport à X et à ¡a; de 
sorte que l’on obtiendrait ainsi toutes les équations nécessaires pour 
calculer x, y, z, u, ç, X, ¡a, y compris même les conditions <p = o, 
4 = o. Mais, comme celles-ci sont explicitement données, il n’est pas 
nécessaire de chercher à les obtenir, et l’on peut se borner à regarder 
les facteurs indéterminés X, ¡a comme constants. 
110. — Exemple : décomposition d’un nombre donné en parties x,y, z,..., 
telles, que le produit xzypzï... soit maximum. 
Comme exemple, cherchons le maximum relatif du produit (que 
nous bornerons, pour fixer les idées, à trois facteurs) f — x^-y^z't, 
où a, ¡3, y désignent des exposants positifs donnés et x, y, z des quan 
tités positives en même nombre, dont la somme doit avoir une valeur 
connue A. Ce maximum existe bien ; puisque, x, y, z étant compris 
entre zéro et A, le produit x^yPzY, compris lui-même entre zéro et 
A«+p+y, reçoit nécessairement une valeur que nulle autre ne dépasse, 
pour des valeurs de x, y, z différentes de zéro, tandis qu'il décroît 
jusqu’à s’annuler si, de part et d’autre de ces valeurs de x, y, z, 
celles d’entre les variables qu’on choisit indépendantes viennent à 
changer dans des rapports quelconques, mais assez pour que quel 
qu’une d’elles s’annule ou fasse annuler la dernière partie (seule non 
indépendante), x, y ou z, de A. 
Il est évident que le principe de Fermât et, par suite, la règle pré 
cédente, s’appliquent à ces valeurs de x, y, z qui rendent ainsi la 
fonction f la plus grande possible. Les équations de condition se 
réduisant à x-\-yz — A=o, nous devrons opérer comme si 
nous cherchions le maximum absolu de/+X(Æ+y + « — A); et les 
relations (38) deviendront 
df 
dy 
H— X — o. 
Elles donneront donc, par l’élimination de X, les équations de maxi-