O
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL DIFFÉRENTIEL : THÉORIE
DU CONTACT DES COURBES PLANES; ÉTUDE DE LEURS DROITES
OSCULATRICES, DE LEUR CONCAVITÉ OU CONVEXITÉ ET * DE LEURS
POINTS SINGULIERS.
HL — Aperçu des applications géométriques du Calcul différentiel
en ce qui concerne les courbes planes : triangle infinitésimal.
Il me reste à exposer les principales applications du Calcul différen
tiel à la théorie générale des courbes soit planes, soit gauches ou non
contenues dans un même plan, et à celle des surfaces courbes. Les
plus simples ont déjà été, ou traitées avec les détails qu’elles méri
tent, ou du moins indiquées, à propos de la représentation des fonc
tions et de leurs dérivées. C’est ainsi que, pour nous borner d’abord
aux courbes planes, une fonction quelconque y~f{x) d’une seule
variable, fonction soit explicite, soit implicite ou définie par une
équation de la forme F (x,y)-=c, nous a conduit, en regardante
comme une abscisse et y comme une ordonnée dans le plan, à consi
dérer une courbe qui en dépeint toute la marche, et dont, en parti
culier, la tangente en chaque endroit (pp. Si et 47*) représente la
manière actuelle de varier de la fonction, c'est-à-dire sa dérivée pre
mière ou pente, tandis que le cercle oscillateur de la même courbe
(pp. 66* et 68*) exprime de plus la dérivée seconde de la fonction,
c’est-à-dire la manière actuelle dont varie sa pente ( 1 ). Et la courbe
considérée peut être d’ailleurs une courbe plane quelconque, prise
elle-même, grâce à l’adjonction d’axes coordonnés des x et des y,
comme définition de la fonction y— /{&)•
Nous avons vu en outre (pp. 44 et 46) comment l’arc s de la courbe,
compté à partir d’un point arbitraire de celle-ci et positivement dans
le sens des abscisses croissantes, constitue une nouvelle fonction Aex,
liée à y, en coordonnées rectangulaires, parla relation s'—\/i -+- y' 2
(‘) Cette notion essentielle du cercle oscillateur n’a été donnée, il est vrai, que
dans le fascicule II; mais elle se présentera bientôt, non moins naturellement,
dans ce premier fascicule.