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COURBES PLANES : TRIANGLE INFINITÉSIMAL. 
existant entre leurs dérivées. Celte formule a été obtenue comme 
cas particulier d’une autre,résultant immédiatement (p. 45), pour une 
courbe quelconque de l’espace, d’une figure où l’accroissement très 
petit de l’arc, As, susceptible d’être confondu avec la corde correspon 
dante, se présente comme la diagonale d’un parallélépipède, dont les 
arêtes, dans les sens des trois axes, sont les accroissements simultanés 
\x, Ay, Az des trois coordonnées. Mais, quand on veut l’avoir direc 
tement pour une simple courbe du plan des xy, la figure peut être 
réduite au triangle MI1M' de la page 3o, où, seulement, pour expri 
mer l’intention de passer à la limite, les deux côtés MH A#, 
HM' = Ay, parallèles aux axes, deviennent les deux différentiellesdx, 
dy de l’abscisse et de l’ordonnée, et où, par suite, le troisième côté 
MM', corde infiniment petite, devient à la fois l’élément suivant, ds, 
de l’arc et le premier élément de la tangente MT. Si les axes sont rec 
tangulaires, l’angle II du triangle est droit, et, en observant que 
lang Il MM', d evenue tan g II MT, est la pente de la courbe, le triangle 
donne de suite 
(0 
Pente = 
dy 
dx ' 
ds — y dx 2 -f- dy ’ 1 , 
ou bien, par la substitution de y'dx et de s'dx à dy et à ds, 
(2) Pente = /, s' — f i -+-y' 2 - 
Le triangle qui a ainsi pour côtés dx, dy, ds a reçu le nom de 
triangle infinitésimal : il montre l’élément ds de la courbe dans ses 
rapports tant de direction que de grandeur avec les éléments dx, dy 
des coordonnées, et nous met en quelque sorte sous les yeux la loi 
même de génération de la courbe point par point. Barrow, géomètre 
anglais du xvn e siècle, paraît en avoir, le premier, fait un grand usage 
et signalé toute l’importance. 
Nous avons obtenu la tangente et le cercle oscillateur d’une courbe 
comme les limites respectives d’une droite et d’une circonférence qui 
auraient avec la courbe le plus grand nombre possible de points com 
muns, répondant à des abscisses équidistantes dont on fait tendre 
l’intervalle vers zéro. Nous avons vu qu’il résulte, à la limite, de cette 
communauté de deux ou de trois ordonnées successives dans la courbe 
et dans la droite ou le cercle, l’égalité, au point final de contact, de 
la première, y', ou des deux premières, y' et y", des dérivées de l’or 
donnée y par rapport à l’abscisse x, dans cette même courbe et dans 
la droite ou le cercle ; et l’on en déduit immédiatement, d’après la 
notion, développée plus haut (p. i45), du contact de deux fonctions,