l’ordre d’un contact ne dépend pas du choix des axes. 
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serve que les ordonnées F (.x), forment deux fonctions continues 
et à n dérivées continues, il en résulte que Vordre du contact est 
indépendant du choix des axes, ou constitue un caractère inhérent 
au système des deux courbes. Il ne pourrait, en effet, devenir supé 
rieur à n par rapport à certains axes, qu’on supposerait aussitôt avoir 
été pris comme axes primitifs des x et des y, sans qu’il atteignît, par 
le fait même, celte valeur plus élevée dans tous les autres svstèmes 
d’axes. Aussi avons-nous trouvé (pp. 67* et 78*) que le cercle oscula- 
teur en un point d’une courbe restait le même quand l’orientation des 
axes changeait; et le fait analogue aurait été évident pour la tan 
gente, simple prolongement d’une corde infiniment petite. 
Il faut toutefois, à cause de la réserve indiquée, éviter de prendre 
pour axe des ordonnées une parallèle à la tangente commune menée en 
A (p, 185) ; ce qui, d’ailleurs, rendant infinis, dans les relations (3), les 
coefficients angulaires y', Y', ainsi que les dérivées suivantes y", Y",..., 
ôterait toute signification précise à ces conditions (3). Et, en effet, 
avec un tel axe des y, les courbes variables dont AB et AC sont les 
limites se trouveraient évidemment (si voisines qu’on les supposât de 
ces limites) coupées en plusieurs endroits, très près de A, par cer 
taines ordonnées, et en un seul endroit ou pas du tout par d’autres; 
de sorte que les ordonnées ne constitueraient pas, comme on l’a admis 
dans la démonstration, deux séries de valeurs F(.r), <£(#) uniques et 
continues. 
Les raisonnements précédents, un peu sommaires, sont confirmés, 
dans leur résultat concernant la persistance de l’ordre des contacts, 
par une construction très simple. Prenons dans la figure ci-dessus 
( p. 185) deux nouveaux axes quelconques O x x x , Oiy x , par rapport 
auxquels les deux coordonnées du point commun A seront x x = 0 1 P 1 , 
y 1= Pi A; et construisons, pour l’arc AB, déjà considéré, de l’une des 
courbes, le nouvel accroissement A t =: P x Q ! de l’abscisse et le nouvel 
écart k x — BGj des deux lignes AB, AG. En général, les deux axes 
O y, Oi y x des ordonnées ont une direction différente de celle de la 
tangente commune menée en A aux deux courbes, et, par suite, une 
direction également différente de celles des deux cordes AB, CC t , in 
finiment petites, ou très voisines de leur limite (pour h — o) confon 
due en A avec la tangente commune. Donc, d’une part, la corde AB, 
joignant, sous des angles finis, soit les deux parallèles AP et BQ, soit 
les deux parallèles AP t et BQ 1; est évidemment du même ordre que les 
droites PQ ou /¿, et P J Q 1 ou h x , qui joignent pareillement, sous des 
angles finis, l’un ou l’autre de ces deux systèmes de parallèles; en 
sorte que h x est comparable à h, ou égale le produit de h par un cer-