CONTACTS D’ORDRE PAIR ET CONTACTS D’ORDRE IMPAIR. 
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lain nombre a ne tendant pas vers zéro ni ne grandissant indéfiniment. 
D’autre part, le rapport des deux écarts BGj= k l et BG = k est, dans 
le triangle BCC 1} celui des sinus des angles opposés G et C n sinus de 
grandeur sensible, puisque la corde CCi ne tend pas à se confondre, 
en direction, avec les parallèles BC, BCj: aux axes O y, 0 1 y 1 des or 
données : par conséquent, le rapport de k i à k est encore un certain 
nombre ¿1, fini comme a. Et puisque l’on a ainsi h v = ah, k r — bk, les 
rapports j—, respectivement égaux * JL Jl, JL- t oucom- 
k k 
parables à — , ■ , sont ou non infiniment petits en même temps que 
ces derniers. C’est bien dire que le contact atteint précisément le 
même ordre dans les deux cas. 
114. — Contacts d’ordre pair et contacts d’ordre impair. 
Enfin, les contacts d’ordre impair se distinguent de ceux d'ordre 
pair par un caractère important : les courbes s’y touchent sans se 
croiser, alors qu’elles se coupent dans les contacts d'ordre pair, 
comme aurait pu porter à le penser le fait ordinaire d’une simple in 
tersection, qui peut, par extension, être assimilée à un contact de 
l’ordre pair n ■=. o. Cette différence résulte de ce que l’ordre du 
contact est le même pour les deux courbes que pour les deux fonc 
tions y=zf{x), Y = y{x), exprimant leurs ordonnées, et de ce que 
(p. 147) celle des deux fonctions qui était la plus grande pour les pe 
tites valeurs négatives de h reste également la plus grande, ou devient 
au contraire la moindre, pour les petites valeurs positives de h, 
suivant que l’ordre est impair ou pair. Celle des deux courbes qui. 
avant d’arriver au point commun, se trouvait au-dessus de l’autre, 
ou du côté des y positifs par rapport à elle, reste donc encore au- 
dessus après ce point, dans le premier cas, mais passe au-dessous, du 
côté des y négatifs, dans le second. Ajoutons que, lorsque l’ordre est 
impair, celle-là des deux fonctions ou des deux ordonnées est la plus 
grande, dans tout le voisinage du point de contact, pour laquelle la 
dérivée {n + i) ièmc , y( n +V ou Y (,i+1 G par rapport à l’abscisse, est elle- 
même la plus grande en ce point, comme on voit par la même démon 
stration (p. 146), où l’excédent, ^(/¿), de l’ordonnée dont il s’agit, 
sur l’autre, a le signe de h ,l+i Y n+l \h) et est bien alors positif. 
La différence en question se déduit encore de ce fait que les deux 
courbes proposées, en contact d’ordre n, ne peuvent nulle part s’écar 
ter d’une manière appréciable de deux courbes variables dont elles 
constituent les positions limites, et qui, elles-mêmes, sont à des dis-