CONTACTS D’ORDRE PAIR ET CONTACTS D’ORDRE IMPAIR. 
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tances sensibles l’une de l’autre tant avant qu’après n -+-1 points d’in 
tersection qu’elles présentent sur une étendue infiniment petite. Quand 
n est impair, le nombre n + i des intersections est pair, et chacune 
des deux courbes, traversant et retraversant l’autre un nombre pareil 
de fois, se retrouve, par rapport à elle, lorsqu’elle s’en éloigne enfin 
notablement, du côté même où elle était avant la première rencontre; 
de sorte que leurs limites, tenues de les suivre d’infiniment près, ne 
pourront manquer d’être, chacune, tout entière d’un même côté de 
l’autre, dans le voisinage du point de contact où seront venus se con 
fondre tous ceux d’intersection; et elles ne se croiseront pas. Le con 
traire arrivera si n est pair : car, après les ft + i intersections, alors 
en nombre impair, chaque courbe restera, par rapport à l’autre, du 
côté où elle n’était pas avant de la rencontrer, et il y aura croisement 
définitif, subsistant inévitablement dans les deux courbes limites. 
115. — Des courbes osculatrices ; leur utilité. 
Supposons maintenant qu’on donne une courbe quelconque^ — f{x) 
et considérons, d’autre part, dans son plan, une ligne variable d’une 
espèce déterminée, ou représentée par une équation d’une certaine 
forme tpO, y, a, b, c, ...) = o avec n -+-1 paramètres indétermi 
nés a, b, c, ..., comme seraient, par exemple, une droite mobile, 
exprimée par la relation y—ax— b — o, un cercle d’une situa 
tion et d’une grandeur arbitraires, ayant en coordonnées rectangles 
l’équation (x — a) 2 -h (y—b) 2 — c 2 — o, enfin, pour passer à des 
sortes de courbes moins simples, la conique la plus générale, ex 
primée, avec cinq coefficients arbitraires «, b, c, d, e, par la relation 
a y 2 -h 2 bxy + cx ! + dy -f- ex — i = o. On peut se proposer de 
choisir, parmi toutes ces courbes variables tp(a?, y, a, b, c, .. .) — o, 
celle qui, pour une abscisse donnée x, présente le contact le plus 
élevé avec la courbe fixe y—f[x); car il suffira, pour cela, de 
disposer des paramètres a, b, c, ... de manière que les condi 
tions (3) d’un tel contact soient satisfaites, eu égalant d’abord à 
/(¿c), pour la valeur assignée de x, l’expression de y que donne l’é 
quation <p(¿r, y, a, b, c, ...) — o, puis à f'{x) la dérivée première 
de cette expression, à f"{x) sa dérivée seconde, etc. Comme on devra 
poser ainsi n -+-1 équations avant d’avoir déterminé les n q- i incon 
nues a, b, c, . .., la dérivée n ième , y^ n \ sera la dernière qu’on éga 
lera, dans la courbe y— f{x) et dans la ligne variable, pour ache 
ver de fixer celle-ci, en sorte que le contact atteindra le « ième ordre. 
Mais il ne dépassera généralement pas cet ordre; car une coïncidence