NOTION ET UTILITÉ DES COURBES OSCULATRICES. 
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bien extraordinaire pourrait seule, sans qu’on eût rien fait pour cela, 
amener l’égalité respective, dans les deux courbes, d’une ou surtout 
de plusieurs dérivées suivantes. 
La ligne particulière y, a, b, c, . . .) = o que l'on obtient de 
cette manière, ou qui a en (¿r, y), avec la proposée y — f{x), le con 
tact le plus intime possible, est dite, pour cette raison, V osculatrice 
de cette courbe au point désigné (¿r, y). Et, en effet, c’est bien ainsi 
que nous avons déterminé le cercle osculateur (p. 65*), savoir, en 
lui faisant acquérir, avec la courbe y — f{oc), trois points communs 
infiniment voisins, autant qu’il était possible ou qu’il en faut pour dé 
terminer une circonférence ; ce qui nous a donné dans le cercle, à l’en 
droit proposé, les mêmes valeurs respectives de y, y' et y" que dans 
la courbe. Quant à la droite osculatrice, deux points suffisant à la 
déterminer, elle n’était autre que le prolongement d’une corde infini 
ment petite, c’est-à-dire la tangente, et l’on pouvait égaler.seulement 
chez elle et dans la courbe l’ordonnée y, avec la pente, définie par y/'. 
De même que, lorsqu’on étudie une fonction dans le voisinage seu 
lement d’une de ses valeurs, la série de Taylor permet de la représenter 
approximativement, quelque compliquée qu’elle soit, par un simple 
polynôme, d’un degré d’autant plus bas que l’approximation exigée 
est moindre; de même aussi, étant donnée une courbe complexe dont 
on n’aurait à utiliser qu’un assez petit arc de part et d’autre d’un cer 
tain point, on construira en ce point, et on lui substituera, soit sa 
droite osculatrice, soit son cercle osculateur, soit sa conique oscula 
trice, etc., suivant que la nature de la question rendra tolérables, 
entre la courbe compliquée exacte et la ligne plus ou moins simple 
destinée à la remplacer, des écarts k du second ordre de petitesse, ou 
seulement du troisième, ou même seulement du cinquième, etc., par 
rapport à la distance au point de contact, écarts comparables à h n+i , 
n étant l’ordre, i, 2, 4, • • - , du contaet établi, et n -+-1 celui, 2, 3, 
5, ..., des paramètres distincts contenus dans l’équation ou de la 
droite, ou de la circonférence, ou de la conique, etc. On voit par là com 
bien peuvent être utiles les courbes osculatrices, et l’importance de 
leur découverte, effectuée par Leibnitz, qui en a indiqué l’application 
au cercle osculateur. 
116. — Rapports d’une courbe avec ses droites osculatrices : convexité, 
concavité et inflexions de cette courbe. 
Soit toujours y= /(#) l’équation de la courbe donnée, rapportée 
à un système quelconque d’axes rectilignes, et appelons x u y l les