DU CERCLE OSCULATEUR, DE LA COURRURE ET DE LA DÉVELOPPÉE 
DES COUREES PLANES. 
123. — Étude générale du cercle osculateur à une courbe plane. 
Nous n’avons, dans la sixième Leçon (*), considéré le cercle oscu 
lateur à une courbe plane qu’en vue d’interpréter géométriquement 
la dérivée seconde de la fonction y~f{x) représentée par la courbe. 
Il nous reste à l’étudier ici comme étant, après la tangente, le cas par 
ticulier le plus important des lignes osculatrices. Appelons x, y ses 
coordonnées courantes par rapport à un système d’axes rectangu 
laires, x 1} y l les coordonnées de son centre, R son rayon. Son équa 
tion sera 
fi) (x — x t )*-h(y~ y x y= R 2 . 
Différentlons-la deux fois en prenant l’abscisse x comme variable in 
dépendante. Si nous supprimons des résultats un facteur commun 2 
et si nous observons, à la seconde différentiation, que, dans le terme 
{y — fourni par la première, les deux facteurs y — y n y' ont 
respectivement comme dérivées y', y", nous aurons, pour calculer ces 
deux premières dérivées de y dans le cercle : 
(2) x Xi~\~ (y y 1 )y' = o, i+/ 2 + (y-yi)y"= o. 
Or observons que, pour une abscisse désignée x, on nous donne, par 
hypothèse, l’ordonnée/, identique à celle, f{x), de la courbe, et au 
tant des dérivées successives y f , y", . . . que nous pourrons en prendre 
d’égales respectivement à f'\x), . . . ; de sorte que les seules 
quantités inconnues ou disponibles entrant dans les trois équations 
(1) et (2) sont alors les paramètres en même nombre x 1} y 1} R qui dé 
finissent le cercle. La dernière (2) fait connaître y—y x et, par suite, 
yq; puis la substitution de cette valeur de y —yq dans la première (2) 
donne de même x —■ x x ou x 1} et les expressions trouvées ainsi 
(’) Et seulement au fascicule II, p. 65*.