ig6 CERCLE OSCULATEUR EN UN POINT D’UNE COURBE PLANE; 
pour x — x l et y— y 1 changent enfin l’équation (i), par l’extraction 
d’une racine carrée où nous pourrons, comme dans la sixième Leçon 
(p. 66*), attribuer au rayon R le signe de y", en celle-ci : 
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Nous retrouvons de la sorte une expression du rayon R d’accord avec 
celle, (25), de son inverse, obtenue par une tout autre voie dans la 
sixième Leçon (p. 70*). 
La relation (3), simple combinaison de (1) et (2), est vérifiée en 
tous les points du cercle quand y 1 et y" reçoivent leurs valeurs rela 
tives à celte courbe et variables avec x : c’est, en d’autres termes, 
l’équation différentielle du second ordre commune à tous les cercles 
de même rayon. Il s’ensuit que, dans ceux-ci, les valeurs des dérivées 
suivantes y'”, y iy , ... s’obtiendront, à volonté, soit en différentianl 
la seconde équation (2), soit en différenliant la relation (3), c’est- 
à-dire en égalant à zéro les dérivées successives de l’expression (3) 
de R. Ainsi, les équations d'où se déduiraient ces dérivées y"', y IV , ... 
dans Je cercle peuvent s’écrire 
dR d 2 R 
Or, après avoir déterminé, comme nous l’avons fait, le centre 
(à? 1, yi) et le rayon R du cercle osculatene en {x, y) à la courbe 
y — /(¿u), il reste à chercher comment nous connaîtrons, dans chaque 
cas, l’ordre précis du contact du cercle avec la courbe, ou quelle sera, 
par conséquent, la première des dérivées de y, à partir de y"', diffé 
rente dans ces deux lignes au point proposé (x, y). En général, ce 
sera la dérivée troisième y 1 ",, puisque aucune disposition n’a pu être 
prise pour lui faire acquérir dans le cercle la valeur f"{x) qu’elle a 
dans la courbe. Mais, s’il existe, le long de celle-ci, quelques points 
(x, y) où la dérivée f"\x) convienne également au cercle, on en sera 
évidemment averti par ce fait, que, dans la première (4), le premier 
membre, qui est une certaine expression en y', y" etse trouvera 
nul dans la courbe comme il l’est dans le cercle. Autrement dit, l'ex 
pression de R en fonction de x, calculée dans la courbe par la formule 
(3), aura, en ces points exceptionnels, sa dérivée première nulle. Et, 
aux mômes points (x, y), les dérivées quatrièmes y iv seront encore 
égales dans le cercle et dans la courbe, à la condition nécessaire et 
suffisante que la seconde relation (4) y soit vérifiée dans la courbe. II 
en serait évidemment de môme pour les dérivées suivantes.