CENTRE DU CERCLE OSCULATEUR 
concavité de la courbe et, par suite, du cercle, est tournée vers les y 
positifs ou vers les y négatifs, c’est-à-dire suivant que la dérivée y" 
commune à la courbe et au cercle a le signe plus ou le signe moins. 
L’un ou l’autre cas sera, du reste, indiqué par le signe même attribué 
au rayon R, et qui est celui de y" quand on convient, comme nous 
l’avons fait, de prendre positivement dans l’expression (3) de R le 
radical placé en numérateur. Le centre C{x 1 , y t ) étant trouvé, il ne 
restera plus qu’à décrire le cercle avec le rayon CM. 
La valeur (3) de R se simplifie un peu en y introduisant la normale 
N à la courbe, tirée depuis le point M{x, y) jusqu’à la rencontre de 
l’axe des abscisses x. Nous avons obtenu (p. 127), pour son expres 
sion, ± y\J\ + j' 2 ; en sorte que le radical y/1 -t- y' 2 représentera le 
rapport de N à y, si l’on convient d’attribuer à la normale N môme 
signe qu’à l’ordonnée y. Et la formule (3) deviendra 
(5) 
R = 
N3 
120. — Détermination géométrique du centre de ce cercle. 
M ais revenons au système des équations (2), qui, en y prenant pour 
x, y, y' et y" les quantités de ces noms relatives au point donné 
M {oc, y) de la courbe y — f{x), nous ont servi à déterminer le centre 
{xy, y x ) du cercle; et cherchons à les interpréter géométriquement. 
Souvenons-nous que la seconde de ces équations (2), d’après la ma 
nière dont on l’a déduite par différentiation de la première, aura 
comme premier membre (à des infiniment petits près du second 
ordre), si on la multiplie par dx, l’accroissement même qu’éprouve 
le premier membre de la première (2) quand x, y et y' y grandissent 
respectivement de dx, y'dx et y"dx, ou encore des différentielles dx, 
dy et dy' relatives au passage du point M de la courbe (figure ci-après) 
à un point M' infiniment voisin. Ainsi, la seconde équation (2), mul 
tipliée par dx et ajoutée à la première, donne, pour tenir lieu, dans 
le système, de la seconde (2) elle-même, une nouvelle équation, ne 
différant de la première (2) que par la substitution, aux coordonnées 
x, y de M et au coefficient angulaire correspondant y' de la tangente, 
des quantités analogues x h- dx, y -+- dy, r' + dy' relatives à ML Donc 
le système (2) est l’équivalent des équations, de même forme toutes 
les deux, 
(6) x X\-\-{y yi)y'— o, x + dx — x l -+-{y-hdjr—y i ){y+dy) = o, 
prises à la limite, où les termes négligés de l'ordre de dx 2 sont sans in 
fluence par rapport à ceux de l’ordre de dx que l’on conserve.