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ANGLE DE CONTINGENCE ET COURBURE 
genles correspondantes MT, M'T', infiniment petit comme lui ei 
qui, tenu d’ètre son égal ou son supplémentaire comme ayant ses 
côtés respectivement perpendiculaires aux siens, ne peut évidemment 
qu’être son égal. On le construit d’ordinaire en imaginant en un point 
fixe, à l’origine O par exemple, une droite mobile O t, constamment 
parallèle à la direction MT prise à chaque instant par un certain point 
M d écrivant la courbe. Celte droite occupe les deux positions O t, O /', 
parallèles à MT, M'T', quand le point mobile se trouve respectivement 
en M et en M'; et l’angle tOt' dont elle tourne d’une de ces positions à 
l’autre, évidemment égal à TAT', est l’angle de contingence. On voit 
qu’il mesure le changement éprouvé par la direction de la tangente 
ou de la courbe le long de l’arc correspondant ds. 
Evaluons-le, soit par les normales, soit par les tangentes ou leurs 
parallèles O t, O t'. 
Dans la première manière, le triangle MCM', formé par les deux 
normales et par la corde de l’arc infiniment petit ds, donne la propor- 
sinGM'M sinMGM' , . . . , , 
lion —— ou, apres substitution a chaque terme 
d’un autre ayant avec lui un rapport tendant vers l’unité, 
Remplaçons-y R par sa valeur (3), ds par \Jdx' 1 -h dy*, expression re 
venant à y/1 -+- y lz dx, et nous aurons la formule cherchée 
(S) 
dO = 
y" dx ' 
1+y 2 
C’est bien ce que l’on trouve directement par la considération de 
l’angle x O t, dont ¿/6 ou t O t' est la différentielle, xOt' — xOt, obtenue 
en passant du point M de la courbe au point suivant M', c’est-à-dire 
en faisant croître x de dx. Effectivement, cet angle xO t a pour tan 
gente la pente y' de la droite mobile O/parallèle à MT; de sorte qu’on 
a x O / = arc tangjy' et, en se souvenant de la dérivée d’un arc tan 
gente, 
d.xot ou a» = yy, 
1-hy 2 1 H-JK 2 
Observons qu’en portant dans la relation intuitive (7) l’expression 
(8) de d0, obtenue ainsi directement, et la valeur non moins simple, 
V 1 +d // " dx, de l’arc élémentaire ds, celte formule (7) aurait conduit 
très facilement à l’expression (3) du rayon du cercle osculateur.