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appelés centre de courbure et rayon de courbure de la ligne pro 
posée. 
129. — De la développée d’une courbe plane. 
On appelle développée d’une ligne plane ABGDE ... le lieu de ses 
centres de courbure A', B', G', D', E', . . ., ou, par conséquent, des 
Fig. 26. 
0 .î: 
intersections successives de ses normales. C’est donc une seconde 
courbe A'B'G' .... 
Voyons d’abord comment on en formera l’équation. Celle de la 
courbe proposée étant, par exemple, F(^r,jy) = o, et ayant fourni 
par deux différentiations les valeurs de y' et de y" en fonction de x 
et de y, le point (xy,yy) de la développée, correspondant au point 
quelconque (x, y) de cette courbe, sera donné par les équations 
(2), qui, jointes à F {x, y) — o, forment un système déterminant y, 
x y et y y en fonction de x. On pourra donc, supposé que l’on sache 
résoudre ce système par rapport à Xy et y y après élimination de y, 
construire la développée par points, avec l’abscisse x de la première 
courbe pour variable auxiliaire. Mais le mieux, si l’on veut étudier à 
part la développée, sera d’éliminer x entre les deux relations, de la 
forme Xy — oi^x) et yy — ty[x), ainsi obtenues ou, plus simplement, 
d’éliminer x et y entre les trois relations du système, en tirant, par 
exemple, x et y des deux équations (2) en fonction de Xy et de jq, 
pour substituer leurs valeurs dans V{x,y) — o. L’équation de la 
courbe proposée donnera ainsi la relation existant entre x x etyq, c’est- 
à-dire l’équation de la développée. 
Si l’équation F(æ?, y) — o est algébrique, les relations (2) le seront 
également et, par suite, la résultante de F = o et de (2) en x x et y y ne 
le sera pas moins, d’après la théorie de l’élimination entre équations