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DÉVELOPPÉE DE L’ELLIPSE : 
D’après la deuxième propriété générale des développées, l’arc AM' 
de la seconde parabole cubique PAQ, compté depuis le point de re 
broussement A jusqu’à un point quelconque M'(aq, y fi, égale la dif 
férence, M'M — AO ou fix t — x)' 2 -h (jq —y) 2 — p, des deux rayons 
de courbure correspondants de sa parabole développante OM; et les 
formules (18), (19) donnent aisément cette différence en fonction algé 
brique explicite de x x . Donc la seconde parabole cubique est une 
courbe rectifiable. 
13(3. — Développées de l’ellipse et de l’hyperbole. 
Dans les cas de l’ellipse et de l’hyperbole, la développée, toujours 
douée évidemment des mêmes genres de symétrie que sa courbe, 
admet un centre comme ces coniques, et il y a tout avantage à y 
transporter l’origine. On sait que ce changement donne, pour l’équa 
tion de la courbe, 
(20) 
r 2 
b 2 
— r. 
Mais, comme il consiste simplement à remplacer l’ancien x par x±a, 
ou à ne modifier l’abscisse que d’une constante, rien, en un point quel 
conque de la courbe, ne sera changé pour cela ni à l’ordonnée y, ni 
à la pente ni à sa rapidité de variation y"-, et les formules pré 
cédentes où x n’entre pas subsisteront intégralement. On pourra donc, 
d’après la deuxième (1 j) et d’après ( 13), remplacer, dans la seconde 
n2 
équation (2), r ,2 + /j" par e 2 — i et y" par — J -y A - Cette seconde équa 
tion (2), chargée de définir l'ordonnée jq du centre de courbure, de 
vient alors, si on la résout par rapport à y 3 et que, se bornant d’abord 
au cas de l’ellipse, on substitue finalement à e 2 et à p leurs valeurs 
aï—b 2 b 2 
—— et —, 
a 2 a 
(21) 
bk y\ 
b 2 — a 2 
Or la symétrie de l’équation (20) de la courbe en æ et/, fl et b, 
quand on y attribue ainsi au second terme le signe supérieur+, rend 
évident ce fait que, si l’on avait adopté l’axe des x pour axe des y 
et vice versa, ce qui est présentement l’abscisse x ï d’un centre de cour 
bure et l’abscisse x du point correspondant de l’ellipse aurait fi guré dans 
l’équation (21) sous les noms de y et jq, avec permutation de a et b. 
Donc, au lieu de prendre la peine de calculer x x par la première