DEVELOPPEE ET RAYON DE COURBURE. 
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sommets respectifs en A, A'. Le demi-arceau BA pourra être supposé 
décrit par le point P d’une circonférence NPN', qui roulerait surBH, 
de B vers H; en sorte que l’on ait, dans une quelconque de ses posi 
tions, arcN'P=r N'B = NS' et, par suite, 
arcNP = Tir — N'P AS'— NS'= NA. 
Cela posé, si l’on construit, pour la cycloïde donnée A SA', le cercle 
générateur TMN, dans la position où il est tangent en N au cercle 
égal NPN', le point M correspondant de cette cycloïde sera lui-même 
tel, que arcNM —NA. Donc les deux arcs NP, NM, tous les deux 
équivalents à NA, sont égaux entre eux; et, par suite, leurs supplé- 
Fig. 33. 
ments PN', MT le sont également. 11 en résulte, d’une part, que les 
deux cordes NP, NM sont égales, d’autre part, que les deux angles 
inscrits PNN', MNT, dont la mesure est iPN' —fMT, sont égaux. 
Et, comme leurs deux côtés NN', NT, étant des diamètres normaux à 
la tangente AA' commune aux deux cercles, se trouvent en ligne 
droite, il faut que ces deux angles égaux PNN', MNT soient exacte 
ment opposés par le sommet, ou que NP soit le prolongement de MN. 
D’ailleurs, d’après la règle donnée tout à l’heure pour construire la 
normale et la tangente à une cycloïde, MN est normal à la première 
ASA' et NP tangent à la seconde ABA'. Cela étant vrai pour toutes 
les positions correspondantes possibles des deux cercles, on voit que 
les normales de la première cycloïde coïncident avec les tangentes de 
la seconde et que, par suite, celle-ci, sur laquelle se coupent succes 
sivement ses propres tangentes ou cordes infiniment petites consécu 
tives, est le lieu des intersections successives des normales à la pro 
posée, c’est-à-dire sa développée môme.