TANGENTE A UNE COURBE GAUCHE.
a3i
de celte courbe. Si x x , y 1} z x sont les coordonnées d’un quelconque, T,
de ses points (ou coordonnées courantes), x x , y x et x x , z x seront res
pectivement celles de t et de t', et la tangente MT aura pour équa
tions les équations mômes de ses deux projections mt, /71' t', savoir,
en appelant y', z' les deux dérivées des fonctions y— s = cp(cr),
(l) y l — y=y\x l — x), z 1 — z = z'(x ! —37).
Mais, si la courbe AB était considérée comme la trajectoire d’un
point mobile M, ou que x, y, z fussent trois fonctions données
x =/i(i), / z— d’une variable auxiliaire /, on obser
verait directement que, le long de la droite MT, les trois différences
x x — x, y y — y, z x — z, projections obliques de MT sur les trois axes,
gardent entre elles les mêmes rapports quand le point T se déplace,
et qu’elles sont, par conséquent, proportionnelles à leurs valeurs
dx ■=. x' dt, dy — y' dt, dz —z' dt relatives au moment où le point T
est à la seconde extrémité K de la corde infiniment petite MK. On
aurait donc, comme équations de la tangente,
(2)
X\ — x _ yi—y Zy — Z
x' ~ y' ~ z'
relations qui se réduisent bien à (1) par l’hypothèse t~x, c’est-à-dire
quand on a x' — 1 et que y, z deviennent fonction de x.
Enfin, si la ligne proposée AB est définie comme intersection de
deux surfaces F(x, y, z) = 0 et d>(x, y, z) =0, leurs plans tangents
en (x, y, z), lieux respectifs des tangentes menées en ce point aux
courbes s’y croisant sur chaque surface, devront tous les deux,
puisque AB appartiendra à la fois aux deux surfaces, contenir la tan
gente MT, qui sera dès lors leur intersection. D’après l’équation des
plans tangents démontrée vers le commencement de ce Cours ( 1 ), les
deux équations de la tangente seront
1 d F ,
d F ,
d F
J +
-y)-1-
0
11
0
1
I
r>o
1 ^
1 d<P .
c/d' .
<r/d> ,
W (r '-
-y) +
■ 7G (^---) = o
On les aurait déduites, par exemple, de (1), en observant que les deux
(’) Elle ne l'a encore été, sous la forme employée ici, que clans le Fascicule It
(p. 4g*); mais, pour déduire cette forme de la plus simple (17) donnée à la p. g5,
il suffit de substituer, aux deux dérivées partielles p, q de l’ordonnée s, leux-s
valeurs obtenues, comme on a vu p. 120, en dilférentiant par rapport à x et à y
l’équation F — 0 ou d> = 0 de la surface.